Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решенийПредпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида . Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка. Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: . Если или , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать. Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например . Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком: Зайчиком: Или белочкой: Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень. Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если ) является решение: . Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях, если по условию требуется найти только частное решение, то функция по понятной причине нас не морозит, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять! Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой. Пример 1 Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию. Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в двух уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае. Решение: данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?Алгоритм достаточно прост и незамысловат. На первом шаге нужно избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем в низ левой части и проводим почленное деление: Далее необходимо избавиться от игрека вот в этом слагаемом: Для этого проводим замену: , то есть меняем дробь с «игреком» на букву «зет». Смотрим на первое слагаемое: Таким образом, в результате проведенной замены уравнение превращается в уравнение: Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет». Вывод: уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядкаЯ сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли: Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка: Проведем замену: Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем : Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать. Данный интеграл берётся по частям: Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала. Таким образом: Но это ещё не всё, выполняем обратную замену: В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли: Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию : Ответ: частное решение: Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения: 1) проверяем, выполнено ли начальное условие; Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку. Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное. Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения: Пример 2 Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию Пример 3 Найти решение задачи Коши Полные решения и ответы в конце урока. В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: . Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например: Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал: Пример 4 Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию Корни, куда же без них. Решение: пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли. По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс снова идёт лесом. Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на : Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: Таким образом: Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену: Из первого уравнения найдем :
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию : …Вот тебе и раз! Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения? Нет. Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие лучше подставить непосредственно в общий интеграл : Легко видеть, что значению соответствует частный интеграл , и он не удовлетворяет начальному условию . Вот так-то оно бывает! – в статье об однородных уравнениях мы рассмотрели случаи потери решений, а оказывается, «решение» можно ещё и «приобрести». Ответ: частное решение – проверку выполните самостоятельно, она тут устная. И сейчас ещё один любопытный факт. Семейство кривых (общий интеграл ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло. Такое необычное решение называют особым решением дифференциального уравнения. Конец факта. И начало следующих :) Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на пяти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Походил немного по комнате, посмеялся, продолжаю: Пример 5 Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка. Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока. Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе. Пример 6 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: данное ДУ является уравнением Бернулли. Очевидно, что является решением этого уравнения. И только после этой оговорки делим обе части на : Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену: В результате: Получено линейное уравнение, проведем замену: Решим систему: Из первого уравнения найдем :
Проведём обратную замену: если изначально , то обратно: В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде: Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно). Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение: Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью. Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения Это пример для самостоятельного решения. Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом. Отличной вам сессии! Решения и ответы: Пример 2. Решение: данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение. Пример 3. Решение: Пример 5. Решение: данное уравнение является уравнением Бернулли. Пример 7. Решение: Ответ: частное решение: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |