Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =) Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное: Пример 1 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению ! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку! Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную: Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами: Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения: Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения . Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части): Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению. Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1): А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2): Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество. Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:)) – это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно: Пример 2 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями. Пример 3 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство. Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения. Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы. Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных: Пример 4 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике. Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям: Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению. Пара примеров для самостоятельного решения: Пример 5 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство. Пример 6 То же задание для функции и уравнения А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге . Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре! Решения и ответы в подвале. Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго: Пример 7 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции. Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка: Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка: Подставим и в левую часть уравнения: Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению. Так действительно бывает! Интересное задание для самостоятельного решения: Пример 8 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Краткое решение и ответ в конце урока. И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно: Пример 9 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Решение: найдём частные производные 1-го порядка функции трёх переменных: Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения: Ответ: дфуду Вот так и рождаются новые ругательства =) Симметрия по вашу душу: Пример 10 Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению Подумайте, как рациональнее оформить решение. Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =) Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции. Решения и ответы: Пример 2: Решение: найдём производную: Пример 3: Решение: найдём производную: Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию: Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка: Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»: Пример 10: Решение: преобразуем функцию: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |