Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции?Минуту ещё, мой ветер не стих, Для начала расшифруем заголовок :) Вспоминаем определение с первого урока: функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений . Так, функция каждому комплексному «зет» ставит в соответствие одно значение «дубльвэ». К примеру, число по правилу превращается в число . Геометрически это выглядит так: Пример 1 С помощью функции отобразить линии: а) , б) , в) , г) , д) , …пожалуй, достаточно. Решение: а) Отобразим прямую , то бишь ось с декартовым уравнением . Когда прямая параллельна координатным осям либо задаёт саму ось, удобно использовать прямое рассуждение. Так как , то , и коль скоро , то имеем функцию . Таким образом, действительные значения «икс» (точки оси ) переходят в действительные значения – точки действительной оси . При этом имеет место несоответствие значений, так, если , то . Но, так или иначе, функция отображает ось в ось . Как вариант (может даже лучший), ось можно записать в параметрической форме: и подставив эти уравнения в : При изменении параметра «тэ» от «минус» до «плюс» бесконечности точки оси непрерывно отображаются в точки оси . б) При отображении прямой (оси ) рассуждения «зеркальны»: поскольку , то: Таким образом, ось отображается в прямую плоскости . Как вариант, можно использовать параметрическое уравнение оси , получив функцию в виде с тем же самым выводом. То были простые случаи, теперь общее правило. Чтобы отобразить линию плоскости на плоскость с помощью функции , нужно составить и решить следующую систему: , где – действительная часть функции , а – её мнимая часть. Это рабочие формулы (1), пожалуйста, перепишите их к себе на листок. Алгоритм решения состоит в том, чтобы исключить из этих уравнений «икс» и «игрек» и связать между собой переменные «у» и «вэ», получив линию на плоскости . Действительная и мнимая часть функции уже найдены: в) Отобразим с помощью функции прямую . Составим соответствующую систему: Решение начинают с последнего уравнения – тут у нас готовенький «игрек» , который мы подставляем во 2-е уравнение: Таким образом, прямая отобразилась в прямую (зелёный цвет на чертеже ниже). Прямую строим привычным образом в декартовой системе координат , где роль независимой переменной играет , а роль зависимой – . г) Отобразим каноническую параболу : «Разворачиваем» последнее уравнение: и подставляем в 1-е: Таким образом, парабола отобразилась в параболу (оранжевый цвет на чертеже ниже). д) И, наконец, отобразим единичную окружность с известным декартовым уравнением: Плясать начинаем от третьего уравнения, и тут есть выбор: выразить «икс» через «игрек» либо наоборот. При прочих равных выражать лучше то, чтобы выгоднее была подстановка. Привлекательней выглядит подстановка во 2-е уравнение, а посему выражаем «игрек» и подставляем его в оное: Таким образом, окружность отобразилась в окружность (коричневый цвет на чертеже). Решение можно упростить, рассмотрев параметрическое уравнение окружности : В нашей задаче: Аналитически результат можно получить с помощью основного тригонометрического тождества , из которого выгоднее выразить синус и подставить его во 2-е уравнение системы: Далее по аналогии с первым способом решения возводим 2-е уравнение в квадрат:
Ответ: а) ось , б) , в) , г) , д) Скорее всего, у вас сложилось впечатление, что линия обязательно отображается в однотипную линию (прямая в прямую, окружность в окружность и т. д.). Разумеется, это не так. В общем случае комплексная функция запросто отобразит линию – в линию другого типа, прямую в окружность, например, и это ещё самое обыкновенное чудо. Следующие примеры для самостоятельного решения, классика жанра: Пример 2 Отобразить линии 1) , 2) (составить параметрические уравнения), 3) с помощью функции . Пример 3 Найти образы координатных осей при отображении Здесь удобно использовать параметрические уравнения. При отображении оси следует иметь в виду, что точка не входит в область определения функции. РассмотрИте два участка оси и проанализируйте, во что они отображаются при изменении параметра «тэ», продвинутые читатели могут использовать односторонние пределы, которые мы активно эксплуатировали при нахождении несобственных интегралов второго рода. Решаем, сверяемся с образцом внизу страницы и переходим к отображению областей. В классической учебной задаче область ограничена несколькими линиями: Пример 4 Отобразить область с помощью функции : Это всё из ваших контрольных работ, решаем: действительная и мнимая части данной функции уже найдены в Примере 2: и на первом шаге напрашивается отобразить вершины области: После чего выясняем, во что отобразятся куски границы: 1) Отрезок прямой между точками и . Запишем параметрические уравнения этой прямой: и подставим их в действительную и мнимую часть функции: Да, и, кстати, не лишним будет проверить, что координаты точек удовлетворяют уравнению , а то вдруг мы вообще где-то ошиблись? 2) Отобразим отрезок прямой между точками и . Алгоритм тот же самый. Записываем параметрические уравнения прямой: и подставляем их в действительную и мнимую часть функции: И уже тут лучше сразу устно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученному уравнению. 3) И, наконец, третье отображение, его мы уже выполнили в Примере 3. Дуга окружности между точками и отображается в дугу окружности между точками и (устно проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению). Выясним, в какую именно дугу. Запишем параметрические уравнения окружности : и подставим их в действительную и мнимую части функции: Исходной дуге , очевидно, соответствуют следующие пределы изменения параметра: . Берём какое-нибудь промежуточное значение, например, и подставляем его в систему выше: – в результате получились координаты точки, которая лежит именно на той дуге, которую я провёл синим цветом (справа): Таким образом, функция отобразила область в область : Вот такая вот птичка получилась. Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 5 Отобразить область с помощью функции . И после сверки переходим к следующей теме… – да, они самые! Решения и ответы: Пример 2. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то, домножая числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, получаем: 1) Отобразим с помощью функции прямую . Составим и решим соответствующую систему: 2) Отобразим линию – луч, исходящий из начала координат и делящий 2-ю координатную четверть пополам, при этом начало исключается, так как для него аргумент не определён. Данный луч лежит на прямой . Запишем её уравнение в параметрической форме: если , то , таким образом: . При этом лучу соответствуют следующие пределы изменения параметра : от 0 (не включая ноль) до , то есть значения параметра убывают. Запишем действительную и мнимую часть функции в параметрической форме : Таким образом, при изменении параметра от 0 (не включая ноль) до биссектриса 2-й координатной четверти отображается в биссектрису 3-й координатной четверти, проходимой от «минус» бесконечности до нуля (синие линии на чертеже ниже). Примечание: при желании можно рассмотреть возрастающий параметр , и тогда лучи будут «отрисовываться» в противоположных направлениях. 3) Отобразим окружность , которой соответствует декартово уравнение . Запишем соответствующую систему:
Пример 3. Решение: так как , то а) Запишем параметрические уравнения оси и подставим их в функцию: 1) Рассмотрим участок . Предельному значению соответствует точка: 2) Рассмотрим участок . Вблизи единицы справа ситуация такова: б) Запишем параметрические уравнения оси и подставим их в функцию: Подставим и во 2-е уравнение системы:
Таким образом, ось отобразилась в единичную окружность плоскости . Ответ: а) ось , проходимая от точки до и от до той же точки (точка исключается), б) . Пример 5. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то: Область ограничена дугой окружности сверху и прямой снизу (см. рис. ниже). Найдём координаты вершин области: и отобразим их с помощью функции :
1) Отобразим отрезок . Запишем параметрические уравнения прямой и подставим их в действительную и мнимую часть функции: 2) Отобразим дугу окружности . Запишем её параметрические уравнения: и определим пределы изменения параметра. Точке соответствует следующее значение тангенса: (можно заглянуть в тригонометрическую таблицу). И из соображений симметрии находим конечное значение параметра: . Таким образом, параметр изменяется в пределах . Подставим в действительную и мнимую часть функции: Таким образом, дуга окружности отобразилась в дугу окружности (проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению). Выясним, в какую именно дугу. Берём какое-нибудь промежуточное значение из диапазона , напрашивается , и подставляем его в полученные параметрические уравнения : В результате область отобразилась в Пакмэна:))
Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |