Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции?
Минуту ещё, мой ветер не стих, Мне нравится здесь, в королевстве кривых (с)
Для начала расшифруем заголовок :) Вспоминаем определение с первого урока:
функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений .
Так, функция каждому комплексному «зет» ставит в соответствие одно значение «дубльвэ». К примеру, число по правилу превращается в число . Геометрически это выглядит так:
И наша сегодняшняя задача состоит в том, чтобы научиться отображать с помощью функций не отдельно взятые точки, а целые линии и более того – области. Напоминаю, что линию можно задать уравнением (как вариант, функцией ), присоединив к исходной комплексной плоскости (слева) декартову систему координат . Также в ходу параметрическое задание линии: , а-ка .
Пример 1
С помощью функции отобразить линии:
а) , б) , в) , г) , д) , …пожалуй, достаточно.
Решение:а) Отобразим прямую , то бишь ось с декартовым уравнением . Когда прямая параллельна координатным осям либо задаёт саму ось, удобно использовать прямое рассуждение. Так как , то , и коль скоро , то имеем функцию .
Таким образом, действительные значения «икс» (точки оси ) переходят в действительные значения – точки действительной оси . При этом имеет место несоответствие значений, так, если , то . Но, так или иначе, функция отображает ось в ось .
Как вариант (может даже лучший), ось можно записать в параметрической форме: и подставив эти уравнения в : – получаем функцию в параметрическом виде.
При изменении параметра «тэ» от «минус» до «плюс» бесконечности точки оси непрерывно отображаются в точки оси .
б) При отображении прямой (оси ) рассуждения «зеркальны»: поскольку , то: – в результате значения «игрек» (точки оси ) переходят во множество комплексных чисел с одинаковой действительной частью. А именно, это числа, лежащие на прямой , параллельной оси (синяя линия на чертеже ниже).
Таким образом, ось отображается в прямую плоскости .
Как вариант, можно использовать параметрическое уравнение оси , получив функцию в виде с тем же самым выводом.
То были простые случаи, теперь общее правило. Чтобы отобразить линию плоскости на плоскость с помощью функции , нужно составить и решить следующую систему:
, где – действительная часть функции , а – её мнимая часть. Это рабочие формулы (1), пожалуйста, перепишите их к себе на листок.
Алгоритм решения состоит в том, чтобы исключить из этих уравнений «икс» и «игрек» и связать между собой переменные «у» и «вэ», получив линию на плоскости .
Действительная и мнимая часть функции уже найдены:
и осталось перекоцать линии, предложенные в условии:
в) Отобразим с помощью функции прямую . Составим соответствующую систему:
Решение начинают с последнего уравнения – тут у нас готовенький «игрек» , который мы подставляем во 2-е уравнение: – теперь из 1-го уравнения выражаем «икс»: – и подставляем его в то же 2-е уравнение:
Таким образом, прямая отобразилась в прямую (зелёный цвет на чертеже ниже). Прямую строим привычным образом в декартовой системе координат , где роль независимой переменной играет , а роль зависимой – .
Плясать начинаем от третьего уравнения, и тут есть выбор: выразить «икс» через «игрек» либо наоборот. При прочих равных выражать лучше то, чтобы выгоднее была подстановка. Привлекательней выглядит подстановка во 2-е уравнение, а посему выражаем «игрек» и подставляем его в оное: , после чего 2-е уравнение удобно сразу возвести в квадрат:
Теперь нужно исключить переменную «икс», для этого из 1-го уравнения выразим: – подставляем во 2-е уравнение: – окружность с центром в точке , радиуса 2.
Таким образом, окружность отобразилась в окружность (коричневый цвет на чертеже).
Решение можно упростить, рассмотрев параметрическое уравнение окружности:
В этом случае нужно составить систему и, исключив параметр «тэ», получить то же уравнение плоскости . Это рабочие формулы (2) для параметрически заданной линии, добавьте их в свой справочник.
В нашей задаче: – и уже здесь опытный глаз сможет определить тип линии. Уравнения задают окружность радиуса 2 с центром в начале координат, но по первой координате у нас есть вычитание тройки, что означает сдвиг графика на 3 единицы влево.
Аналитически результат можно получить с помощью основного тригонометрического тождества, из которого выгоднее выразить синус и подставить его во 2-е уравнение системы:
Далее по аналогии с первым способом решения возводим 2-е уравнение в квадрат: , из 1-го уравнения выражаем косинус и подставляем его во 2-е уравнение: , получив тот же самый результат .
Ответ: а) ось , б) , в) , г) , д)
Скорее всего, у вас сложилось впечатление, что линия обязательно отображается в однотипную линию (прямая в прямую, окружность в окружность и т. д.). Разумеется, это не так. В общем случае комплексная функция запросто отобразит линию – в линию другого типа, прямую в окружность, например, и это ещё самое обыкновенное чудо.
Следующие примеры для самостоятельного решения, классика жанра:
Пример 2
Отобразить линии 1) , 2) (составить параметрические уравнения), 3) с помощью функции .
и задание, я бы сказал, повышенной сложности:
Пример 3
Найти образы координатных осей при отображении
Здесь удобно использовать параметрические уравнения. При отображении оси следует иметь в виду, что точка не входит в область определения функции. РассмотрИте два участка оси и проанализируйте, во что они отображаются при изменении параметра «тэ», продвинутые читатели могут использовать односторонние пределы, которые мы активно эксплуатировали при нахождении несобственных интегралов второго рода.
Решаем, сверяемся с образцом внизу страницы и переходим к отображению областей. В классической учебной задаче область ограничена несколькими линиями:
Пример 4
Отобразить область с помощью функции :
Это всё из ваших контрольных работ, решаем: действительная и мнимая части данной функции уже найдены в Примере 2: и на первом шаге напрашивается отобразить вершины области:
После чего выясняем, во что отобразятся куски границы:
1) Отрезок прямой между точками и .
Запишем параметрические уравнения этой прямой: и подставим их в действительную и мнимую часть функции: , при этом «тэ» у нас изменятся в пределах , ибо отрезок.
Теперь нужно исключить параметр. Из 2-го уравнения выражаем и ещё сразу выразим «тэ»: . Подставим эти выражения в 1-е уравнение:
и избавимся от четырёхэтажности дроби:
возведём обе части в квадрат:
выделим полный квадрат:
Таким образом, отрезок отобразился в дугу окружностис центром в точке радиуса . Но в какую именно? Ведь точки и делят окружность на две дуги. Для прояснения этого вопроса смотрим на пределы изменения параметра , выбираем какое-нибудь промежуточное значение, проще всего взять , и подставляем его в параметрические уравнения : – в результате получились координаты точки, которая лежит на меньшей дуге – её я обозначил красной линией (см. чертёж ниже).
Да, и, кстати, не лишним будет проверить, что координаты точек удовлетворяют уравнению , а то вдруг мы вообще где-то ошиблись?
2) Отобразим отрезок прямой между точками и .
Алгоритм тот же самый. Записываем параметрические уравнения прямой: и подставляем их в действительную и мнимую часть функции: , при этом отрезку соответствуют тот же диапазон .
Из 1-го уравнения выражаем и – подставляем во 2-е уравнение:
Возводим обе части в квадрат и допиливаем нашу белоснежку:
И уже тут лучше сразу устно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученному уравнению.
Таким образом, отрезок отобразился в дугу окружностис центром в точке радиуса . В какую именно дугу? Берём промежуточное значение параметра , подставляем его в систему выше и выясняем, что получена точка дуги, которую я провёл зелёным цветом (см. чертёж ниже).
3) И, наконец, третье отображение, его мы уже выполнили в Примере 3. Дуга окружности между точками и отображается в дугу окружности между точками и (устно проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению).
Выясним, в какую именно дугу. Запишем параметрические уравнения окружности : и подставим их в действительную и мнимую части функции:
Исходной дуге , очевидно, соответствуют следующие пределы изменения параметра: . Берём какое-нибудь промежуточное значение, например, и подставляем его в систему выше:
– в результате получились координаты точки, которая лежит именно на той дуге, которую я провёл синим цветом (справа):
Таким образом, функция отобразила область в область : Вот такая вот птичка получилась.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Отобразить область с помощью функции .
И после сверки переходим к следующей теме… – да, они самые!
Решения и ответы:
Пример 2.Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то, домножая числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, получаем: Таким образом: – действительная часть функции ; (не теряем «минус»!) – её мнимая часть.
1) Отобразим с помощью функции прямую . Составим и решим соответствующую систему: – подставим в первые два уравнения: – из 1-го уравнения выразим – подставим во 2-е уравнение и избавимся от трёхэтажности дроби: Таким образом, прямая плоскости отображается в прямую плоскости (см. рис ниже).
2) Отобразим линию – луч, исходящий из начала координат и делящий 2-ю координатную четверть пополам, при этом начало исключается, так как для него аргумент не определён. Данный луч лежит на прямой . Запишем её уравнение в параметрической форме: если , то , таким образом: . При этом лучу соответствуют следующие пределы изменения параметра : от 0 (не включая ноль) до , то есть значения параметра убывают.
Запишем действительную и мнимую часть функции в параметрической форме : , при этом финальному значению соответствует предельная точка (начало координат) плоскости , а при («тэ» стремится к нулю слева) действительная и мнимая части функции стремятся к «минус» бесконечности: . Выясним, вдоль какой линии это всё происходит. Из 1-го уравнения системы выразим – подставим во 2-е уравнение: – вдоль прямой .
Таким образом, при изменении параметра от 0 (не включая ноль) до биссектриса 2-й координатной четверти отображается в биссектрису 3-й координатной четверти, проходимой от «минус» бесконечности до нуля (синие линии на чертеже ниже).
Примечание: при желании можно рассмотреть возрастающий параметр , и тогда лучи будут «отрисовываться» в противоположных направлениях.
3) Отобразим окружность , которой соответствует декартово уравнение . Запишем соответствующую систему: – подставим – в первые два уравнения: и оба уравнения удобно сразу возвести в квадрат:. Из уравения окружности выразим – подставим в 1-е уравнение: , откуда выразим «игрек квадрат»: – и подставим его во 2-е уравнение: Таким образом, окружность отобразилась в окружность (коричневые линии на чертеже).
Ответ:1), 2), 3).
Пример 3.Решение: так как , то
а) Запишем параметрические уравнения оси и подставим их в функцию:
1) Рассмотрим участок . Предельному значению соответствует точка: – лежащая на оси . А если мы приближаемся к единице слева, то . Таким образом, участок оси от до отображается в аналогичный участок оси , проходимый (внимание!) справа налево от (не включая точку) до «минус» бесконечности.
2) Рассмотрим участок . Вблизи единицы справа ситуация такова: Предельному значению соответствует та же точка . Таким образом, участок оси от до отображается в аналогичный участок оси , проходимый справа налево от «плюс» бесконечности до точки (точка исключается).
б) Запишем параметрические уравнения оси и подставим их в функцию: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число: Составим систему из действительно и мнимой частей функции: Преобразуем первое уравнение: и выразим из него: и, кроме того, ещё нужно выразить «тэ»:
Подставим и во 2-е уравнение системы: сокращаем числитель и знаменатель на двойку и на :
и возводим обе части в квадрат:
Таким образом, ось отобразилась в единичную окружность плоскости .
Ответ: а) ось , проходимая от точки до и от до той же точки (точка исключается), б).
Пример 5.Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то: Таким образом:
Область ограничена дугой окружности сверху и прямой снизу (см. рис. ниже). Найдём координаты вершин области: и отобразим их с помощью функции :
1) Отобразим отрезок . Запишем параметрические уравнения прямой и подставим их в действительную и мнимую часть функции: , при этом . Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение: – парабола с вершиной в точке и ветвями по направлению оси . Таким образом, отрезок , очевидно, отобразился во фрагмент параболы между точками (проверяем, что координаты удовлетворяют уравнению).
2) Отобразим дугу окружности . Запишем её параметрические уравнения: и определим пределы изменения параметра. Точке соответствует следующее значение тангенса: (можно заглянуть в тригонометрическую таблицу). И из соображений симметрии находим конечное значение параметра: . Таким образом, параметр изменяется в пределах .
Подставим в действительную и мнимую часть функции: По известным формулам перейдём к двойному аргументу: – в результате получены параметрические уравнения окружности .
Таким образом, дуга окружности отобразилась в дугу окружности (проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению).
Выясним, в какую именно дугу. Берём какое-нибудь промежуточное значение из диапазона , напрашивается , и подставляем его в полученные параметрические уравнения : – в результате получены координаты точки, которая лежит на бОльшей (левой) дуге.