Матричные уравнения. Примеры решений

Сейчас 00.12, 21 декабря 2012 года и я поздравляю всех посетителей сайта с Концом Света. Он оказался для меня самой настоящей находкой, поскольку каждый раз, начиная новую статью, я мучаюсь с первым абзацем, чтобы грамотно подобрать сухие точные фразы и сориентировать читателя в теме.

Тибетские монахи сказали, что Армагеддон будет продолжаться две недели (видимо, все были студентами и сдавали сессии), поэтому у чайников ещё есть время ознакомиться с уроками Действия с матрицами, Свойства матричных операций и матричные выражения, Как найти обратную матрицу? Это не так сложно и не так много, как кажется! То есть для освоения матричных уравнений необходимо обладать некоторыми навыками и быть, если не шаманом матриц, то, по меньшей мере, матричным охотником. Не переживайте, Конец Концом, а матричные уравнения сдадутся на милость победителя.

Начнём с простого линейного уравнения, например уравнения . Оно состоит из математических знаков, чисел и неизвестной «икс». Перенесём «тройку» в правую часть и найдём решение уравнения:

Выполним проверку, для этого подставим найденное значение в исходное уравнение:

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число). Плюс особенные фишки, характерные для действий с матрицами. Всё просто, и особых трудностей возникнуть не должно.

Общие принципы решения матричных уравнений

Матричное уравнение обычно состоит из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть решением матричного уравнения является матрица.

Пример 1

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Как решить матричное уравнение?

Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

Причёсываем правую часть:

Выразим , для этого обе части уравнения умножим на :

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от минуса. Делим каждый элемент матрицы на –2:

Ответ:

Как выполнить проверку?

Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

(последним действием вынесли тройку из матрицы).

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простое доказательство, точнее, показательство: .

Пример, который мы разобрали, элементарен и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%, встретятся вам в реальной практической работе. Но прежде систематизируем общий ход решения.

Типовой алгоритм решения матричного уравнения

Итак, на голову упал стандартный персонаж, состоящий из нескольких матриц, некоторых множителей и птицы счастья .

На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:

либо , где – известные матрицы.

Существует также третий вид: , но на практике он встречается редко. Тем не менее, я рассмотрю и этот случай. Кроме того, выжившие читатели предложили ещё несколько интересных экземпляров, в частности, простейшее квадратное уравнение , где – матрица «два на два». Разберём и их! – на закуску, в качестве бонуса.

Но сначала освоим самые ходовые варианты.

Как привести уравнение к виду или ? Все действия вы видели в Примере № 1 – это перенос матриц из части в часть, занос множителей в матрицы, матричное сложение / вычитание.

На втором шаге нужно выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно .

1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

! Внимание! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

По свойству матричных операций, , следовательно:

Единичную матрицу можно убрать:

Чего и требовалось достичь. Матрица нам не известна.

2) . Умножаем обе части уравнения на справа:

Согласно свойству , получаем:

Единичную матрицу убираем:

Готово. Матрица нам опять же не известна.

Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении. Это стандартная задача урока Как найти обратную матрицу?

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение или и, собственно, получаем ответ.

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – нужно подставить найденное значение в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:

Решение матричного уравнения вида

…И добавить нечего =)

Пример 2

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Решение: уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы .

Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Ответ:

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Следующая задача весьма любопытна, и некоторые из вас сделают для себя неожиданное открытие:

Пример 3

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Решение: неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера № 1 действия:

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Обратная матрица:

Таким образом, решение уравнения:

Ответ:

Дробь красивше оставить перед столбцом, хотя вполне приемлемо записать и так: .

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.

Заметьте, что после подстановки в левую часть уравнения, константа уютно расположилась между матрицами. В подобных случаях число лучше вынести вперёд и разобраться с ним в самом конце – после матричного умножения.

А теперь остановимся вот на каком моменте…. Вернёмся к самому началу решения, когда мы получили матричное уравнение в виде . Задача состояла в том, чтобы найти неизвестный столбец .

Перепишем уравнение в виде и в левой части умножим матрицы по обычному правилу:

До боли знакомая картина =) Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы. Это система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

И полученный нами ответ представляет собой решение данной системы:
.

Таким образом, матричный метод решения системы – это, по сути, частный случай матричного уравнения.

Пример 4

Найти из матричного уравнения:

Проверить полученный результат.

Заметьте, что справа находится нулевая матрица а не ноль. Нулевая матрица для матриц – это аналог нуля для чисел. И её можно не записывать, после того, как вы что-нибудь перенесёте в правую часть.

Полное решение и примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

В процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц. В этом случае, пожалуйста, вернитесь к матричным выражениям и отработайте данное действие.

Решение матричного уравнения вида

Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 5

Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.

Решение: уравнение имеет готовый вид , что позволяет сразу же заняться «иксом».

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде ».

Матрица «бэ» известна. Берём матрицу и без комментариев исследуем обратную сторону Луны:

, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица едет во втором вагоне:

Ответ:

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Усложним задание:

Пример 6

Решить матричное уравнение, сделать проверку:

Решение: незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сводится к виду . Заносим множители, переносим свободную матрицу в правую часть и выполняем вычитание матриц:

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Обратная матрица:

Здесь целесообразно внести минус в матрицу. Возможно, вам надоела однообразная картинка с нахождением обратной матрицы в каждом примере, я бы вполне мог пропускать данный пункт и сразу записывать: «Обратная матрица такая-то…». Нет, полное решение приводится не случайно. Это отличная возможность потренироваться! Кроме того, у некоторых студентов действительно очень низкий уровень подготовки и полный трафарет того или иного примера будет как нельзя кстати. Да и сам Гугл, глядишь, научится решать матричные уравнения =) (и эта шутка от 2012 года оказалась пророческой).

Находим решение:

Ответ:

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.

Пример 7

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

А теперь кратко рассмотрим третий тип матричного уравнения: , где – известные матрицы. То есть наш партизан залёг между двумя матрицами.

Разрешим данное уравнение относительно . Сначала умножим обе части на слева:

Теперь умножим обе части на справа:

Готового примера у себя в коллекции я не нашёл, но сейчас всё равно что-нибудь подберу из этой оперы…. Вот:

Да, работёнки здесь побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение?

– для матрицы находим обратную матрицу ;
– для матрицы находим обратную матрицу ;
– перемножаем три матрицы: .

Желающие могут прорешать данный пример, верный ответ: .

И в заключение обещанные творческие задания:

Пример 8

Решить матричное уравнение , где – матрица .

Иными словами, какая матрица «два на два » при возведении в квадрат даёт единичную матрицу? Точнее, наверное, матрицы, ибо сразу появляется предположение, что корень здесь не единственный, как и в «обычном» квадратном уравнении.

Решение: обозначим и распишем квадрат матрицы в виде произведения:

Выполним матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, получаем следующую систему:

Напрашивается начать со 2-го и 3-го уравнения. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а посему получается четыре ветки:

– либо ;
– либо ;
– либо ;
– либо .

Не дрейфим.

1) В случае система упрощается до неприличия:

откуда следует, что и, учитывая, что оба квадрата равны единице, получаем четыре пары значения «а» и «дэ»:

Выполним проверку. Очевидно, что и (первые два случая), а вот 3-й и 4-й результат не помешает проверить матричным умножением:

Что и требовалось проверить.

Отонокак, пункт первый, а корня уже четыре. Посмотрим, нет ли ещё.

2) Если , то получаем ту же систему , но уже, заметьте, с двумя парами и , которые учтены в предыдущем пункте.

3) Случай – «зеркален».

4) И, наконец, если , то системка рисуется чуть сложнее:

Пионеры могут выразить из любого уравнения и подставить в другое уравнение, ну а мы из 1-го уравнения почленно вычтем второе:

и используем формулу разности квадратов:

Вариант невозможен, т. к. по условию пункта, – подставляем во 2-е уравнение системы данного пункта:
, то есть остаётся одно уравнение: , и вот оно как оказывается – решений тут бесконечно много. Выразим:

и опять развилка:

– если , то ;
– если , то ;

Таким образом, получаем два семейства решений, в целях проверки возведите оба результата в квадрат самостоятельно:

где и – произвольные комплексные числа, кстати.

Если же рассматривать только действительные значения, то на пару «бэ» и «цэ» следует наложить дополнительное ограничение: . Однако в условии задачи нас не ограничивали действительными числами.

В частности, при получаем в точности матрицы первого пункта. Напрашивается также рассмотреть пару с матрицей . Ну и давайте ещё поиграемся с мнимыми единицами:

Желающие могут протестировать любую другую понравившуюся пару значений «бэ» и «цэ», например , и возвести полученные матрицы в квадрат. Однако за этим развлечением не упускаем из виду, что в полученные формулы матриц не входят корни и первого пункта и их очень важно не потерять, записывая

ответ: уравнение имеет бесконечно много решений, состоящее из двух семейств: и , где и – произвольные комплексные числа. Кроме того, корнями являются матрицы и .

Самостоятельно:

Пример 9

Решить матричное уравнение , если известно, что . Привести общее решение (формулу матрицы ) и несколько частных.

То есть требуется найти все матрицы «два на два» с определителем равным единице, такие, у которых транспонированная матрица равна обратной матрице. И давайте выразим благодарность читателям, которые прислали эти интереснейшие примеры.

Поздравляю вас ещё раз! Из далёкого 2026+ года… Если вы читаете эти строки, то Конец Света так и не наступил! Конец Света как деньги – любит тишину =) На самом деле всё было так: летописцы майя составили свой календарь до дня зимнего солнцестояния 2012 года. А потом устали.

Но на всякий случай передаю привет следующей цивилизации. Когда-нибудь они откопают хорошо сохранившийся в вечной мерзлоте сервер и расшифруют нашу клинопись в странных прямоугольных коробочках =)

Удачной сдачи зачётов и экзаменов!

Решения и ответы:

Пример 4. Решение: приведем уравнение к виду :

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:

Решение уравнения:

Ответ:
Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, значение найдено верно.

Пример 7. Решение: приведем уравнение к виду :

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:
Таким образом:

Ответ:
Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, решение найдено верно.

Пример 9. Решение: обозначим и запишем транспонированную матрицу:

Обратную матрицу найдём по формуле , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы ;
– матрица алгебраических дополнений и: .
По условию, , таким образом:

Распишем уравнение детально: