Как вычислить площадь поверхности вращения?

Рад приветствовать вас на «окраине» темы, где мы разберём ещё одно, более редкое приложение определённого интеграла – нахождение площади поверхности вращения. Предполагаю, что здесь собрались люди, знающие толк в интегралах, поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам.

Посмотрим на лаконичную картинку
Вспоминаем приложения определённого интеграла
и вспомним: что можно вычислить с помощью определённого интеграла?

В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции. Знакомо со школьных времён.

Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения. Тоже просто.

Что ещё? Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой .

И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику – ещё одну площадь. Представьте, что кривая вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки. Как бы сказал ослик Иа-Иа, душераздирающее зрелище =)

Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаю занудное, но важное уточнение:

с геометрической точки зрения, наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности.

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее: .

К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой, но, кроме того, линия должна располагаться выше оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под осью , то подынтегральная функция будет отрицательной: , и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.

Рассмотрим незаслуженно обойденную вниманием фигуру:

Площадь поверхности тора

В двух словах, тор – это бублик. Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности. Сначала с конкретными числовыми значениями:

Пример 1

Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси .

Решение: как вы знаете, уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:

– задаёт верхнюю полуокружность;
– задаёт нижнюю полуокружность:
Окружность порождает поверхность тора

Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг, ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:

1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно.

Берём функцию и находим её производную:

Далее максимально упрощаем корень:

И, наконец, заряжаем результат в формулу:

Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.

2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:

3) Таким образом, площадь поверхности тора:

Ответ:

Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ . Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.

Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику или раскрутите задачу самостоятельно, в качестве экспресс-справки:

Что только мы не делали с параболой за годы обучения, поэтому было бы большим упущением не покрутить её в своё удовольствие:

Пример 2

Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы вокруг оси на промежутке .

Здесь нужно рассмотреть верхнюю ветвь и действовать по стандартному алгоритму. Сама поверхность вращения, как многие представили, напоминает «кружку с яйцевидным дном», что кармически намного лучше дырявого горшка =)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Чертёж в рассматриваемом типе задач не обязателен (кроме затейливых примеров), но всегда полезно хотя бы иметь представление о поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения при параметрически заданной линии

Если линия задана параметрическими уравнениями , то площадь поверхности, полученной вращением данной линии вокруг оси , рассчитывается по формуле . При этом направление «прорисовки» линии, о которое было сломано столько копий, безразлично. Но, как и в предыдущем пункте, важно чтобы она располагалась выше оси абсцисс – в противном случае функция , «отвечающая за игреки», будет принимать отрицательные значения, и перед интегралом придётся поставить знак «минус».

Пример 3

Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности вокруг оси .

Решение: из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии вы знаете, что уравнения задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Ну а сфера, для тех, кто забыл – это поверхность шара (или шаровая поверхность).

Придерживаемся наработанной схемы решения. Берём производные:

Составим и упростим «формульный» корень:

Что и говорить, получилась конфетка.

Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на данном промежутке), таким образом:

Ответ:

Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.

Что-то больно простая задачка, даже неловко стало…, предлагаю вам исправить такую недоработку =)

Пример 4

Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .

Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.

График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически. Поверхность вращения будет напоминать…, даже не знаю с чем сравнить…, что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.

Решение и ответ в конце урока.

Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат. Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача. Ну а здесь мы ограничимся парой штук:

Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?

Если линия задана в полярных координатах уравнением и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной линии вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где – угловые значения, соответствующие концам линии.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, подынтегральная функция должна быть , а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Поэтому нужно рассматривать значения угла из диапазона , где синус неотрицателен. Иными словами, кривая должна располагаться выше полярной оси или / и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.

Пример 5

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение: график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

Составим и упростим корень:

Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений.

Используем формулу:

На промежутке , следовательно: (о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой).

Ответ:

Интересное и короткое задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Вычислить площадь шарового пояса , .

Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется шаровым слоем, а ограничивающая её поверхность (оранжевая кожура) – шаровым поясом.

Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами, легко представили чертёж задачи: уравнение задаёт окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучи отсекают меньшую дугу. Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс.

Теперь можно с чистой совестью и лёгким сердцем съесть апельсинку, на этой вкусной ноте и завершим занятие, не портить же вам аппетит другими примерами =)

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви вокруг оси абсцисс. Используем формулу .
В данном случае: ;

Таким образом:

Ответ: