Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Сумма степенного рядаДанный урок лучше всего изучать по «горячим следам» сразу же после статьи о разложении функции в степенные ряды, поскольку сейчас мы будем решать обратную задачу. Пожалуйста, откройте таблицу разложений функций в степенные ряды и по возможности отправьте файл на печать – чтобы справочный материал был постоянно перед глазами. На бумаге, на столе и перед глазами. Это важно! Суть задания предельно простА: дан степенной ряд. Например: И по условию требуется найти сумму этого ряда, то есть, функцию, к которой он сходится. …Не понятно, что значит «ряд сходится к функции»? Срочно читаем предыдущую статью! Как найти сумму степенного ряда? Здесь не существует какого-то жёсткого алгоритма решения, но есть общие ориентиры, с которыми мы сегодня и познакомимся. В первую очередь целесообразно обратиться к таблице и попытаться выяснить – НА КАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ больше всего похож предложенный ряд? У нашего ряда в знаменателях по порядку идут факториалы, и поэтому он больше всего напоминает разложение экспоненты: . Однако тут степени «альф» совпадают с номерами факториалов, а у нас степень «икса» «отстаёт» на единицу. Что делать? Поправим ситуацию умножением и делением ряда на «икс»: Теперь обращаем внимание, что наверху не хватает слагаемого-«единички». Да какие проблемы? – прибавим её да вычтем: Что смущает ещё? Знакочередование. Его в разложении экспоненты нет. Но в данном случае «минусы» можно «затолкать» под нечётные степени, а под чётными степенями их «возродить»: Таким образом, мы сконструировали разложение экспоненты для : Итак: Другим немаловажным вопросом является область сходимости ряда. Иными словами, ПРИ КАКИХ значениях «икс» наш ряд будет сходиться к функции ? В таблице указано, что экспоненциальный ряд сходится при любом «альфа», но у нас есть одна загвоздочка: найденная функция не определена в точке . Однако ряд в этой точке сходится! И действительно – если подставить ноль, то получается конечное число: Таким образом, сумма ряда запишется кусочным образом: Причём, интересно отметить, что данная сумма непрерывна. И в самом деле – используя соответствующий замечательный предел, получаем: Несмотря на то, что интервалы сходимости типовых рядов я указал в таблице, важно понимать, откуда они взялись. Как, например, определить область сходимости только что разобранного ряда безо всякой таблицы? Записываем его в свёрнутом виде, подобрав общий член: С помощью найденной суммы легко рассчитать сумму любого числового ряда из этого «семейства». Так, например, при получаем ряд , сумма которого равна: – на всякий случай напомню, что это сумма всех его членов: Если , то получим ряд И так далее – можно рассмотреть любое значение «икс» из области сходимости ряда. В статье о сумме числовых рядов мы потихонечку долбили их ломом (да и то немногие поддавались), и сейчас в наших руках оказался целый отбойный молоток! Пользуйтесь и наслаждайтесь! Другой пример: – найдём сумму данного степенного ряда. Именно в свёрнутом виде он чаще всего и предлагается, и само собой ряд удобно расписать: Анализируя таблицу, приходим к выводу, что наш «пациент» больше всего напоминает разложение , причём «альфа», очевидно, равно «иксу» в кубе. Выносим за скобки «минус» и «лишний» и показываем, что : Определим, на каком промежутке ряд сходится к функции . Интервал сходимости ряда можно найти опять же стандартным способом, либо воспользоваться табличным «подарком»: если , то – расходится; Таким образом, ряд сходится лишь на полуинтервале . Вне этого промежутка он расходится и его суммы, понятное дело, не существует. Итак: , если – в отличие от предыдущего примера, выбор «иксов» тут небогат. И здесь ещё хочется заострить внимание на разнице в понятиях и обозначениях: через обозначается функция (сама по себе), Разминочные задания для самостоятельного решения: Найти сумму следующих степенных рядов: а) б) Краткие решения и ответы в конце урока. Наверное, все понимают, как выполнять проверку таких заданий – для этого нужно разложить полученную функцию обратно в ряд. Но это уже пройденное, да и к тому же простое действие, и поэтому я его расписывать не буду. Алгебраические преобразования рядов могут быть весьма замысловаты, однако дело не ограничиваются только ими. Как многие подозревали, производные с интегралами поджидают нас и здесь! Ну а куда ж без них? =) Пожалуйста, освежите воспоминания с помощью таблицы производных и таблицы интегралов (откроются на соседних вкладках) – их тоже по возможности распечатайте и положите перед глазами. …Есть? Поехали: Почленное дифференцирование и интегрирование степенного рядаПусть степенной ряд сходится к своей сумме на некотором промежутке. …Теоремы формулировать не буду – проще рассказать своими словами: Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке внутри его промежутка сходимости: , при этом интервал сходимости полученного ряда останется точно таким же, а его сумма на данном интервале будет равна: . И на всякий случай поясню, что значит «почленно» – если расписать ряд подробно, то согласно свойству линейности, он дифференцируется по каждому члену отдельно: Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри его промежутка сходимости, но здесь ситуация занятнее. Если мы будем его интегрировать по фиксированному отрезку , то получим числовой ряд: Геометрический смысл и практическое применение такого интегрирования мы разберём на уроке о приближённом вычислении интеграла, ну а сейчас нас ждут другие подвиги. А именно, почленное интегрирование по отрезку с переменным верхним пределом , где «икс» может принимать произвольное значение из интервала сходимости, при этом в качестве нижнего предела удобно выбрать ноль. По той же самой формуле Ньютона-Лейбница, получается уже не числовой, а функциональный ряд – распишу подробно: Причём: полученный ряд обладает тем же интервалом сходимости, что и исходный ряд, а его сумму можно найти по формуле , где , напоминаю – сумма ряда Важнейшим условием осуществления этих действий является равномерная сходимость степенных рядов – анонсирую и рекомендую прочитать эту интереснейшую статью! Но прежде освоим технику. Начнём с тех же табличных разложений, некоторые из которых как раз получены с помощью дифференцирования и интегрирования. Выведем, например, разложение арктангенса. Для этого разложим его производную в стандартный ряд : после чего проинтегрируем этот ряд в его интервале сходимости : далее для краткости записи я буду дифференцировать/интегрировать ряды «один махом»: В результате: Поскольку «родительский» биномиальный ряд сходится на интервале , то и полученный ряд тоже будет сходиться на этом интервале. А может быть ещё и на его концах. Проверяем: Оба числовых ряда сходятся условно, таким образом, ряд сходится к арктангенсу в области (вспоминаем картинку из предыдущей статьи). По этой же схеме выводятся разложения логарифма и арксинуса – потренируйтесь самостоятельно. С помощью «новых» действий можно найти разложения некоторых других функций. Классический Пример 1 Разложить в ряд функцию и указать его интервал сходимости. Решение: по «общим очертаниям» предложенная функция сильно напоминает производную от . И действительно: Так как исходный ряд сходится при , то полученный ряд тоже будет сходиться на данном интервале. Осталось узнать, что происходит на концах: Ответ: , ряд сходится при Выполним проверку: Таким образом, всегда держите на заметке, что предложенная функция может быть производной либо интегралом от чего-нибудь табличного. Однако сегодняшний урок посвящён обратной задаче, и применительно к разобранной «классике» она формулируется так: Пример 1* Найти сумму ряда А вот это уже труднее – ведь мы «ещё не знаем», что данный ряд получен дифференцированием ряда , и данный факт можно запросто не увидеть. Впрочем, тут существует чёткий критерий, позволяющий «прозреть»: Решение: анализируя ряд , приходим к выводу, что он мало похож на что-то стандартное, но зато в таблице есть его «ближайший родственник» , к которому мы и обратимся за помощью. Для этого нужно «избавиться» от множителя . Каким образом? Разделить его на самого себя! И такую возможность нам предоставляет интегрирование – здесь я оформлю действия в свёрнутой форме: Теперь нужно «вернуть должок» дифференцированием: Ответ: на интервале Таким образом, «почленёнка» помогает нам «убрать с дороги» неудобные множители, и это действительно очень мощный инструмент: Пример 2 Найти сумму степенного ряда Но перед тем как решать, важная преамбула: несмотря на то, в условии этого не прописано – нам всё равно потребуется найти область сходимости ряда. Причина, думаю, понятна – ведь сумма в общем случае существует далеко не везде, и если в ответе указать только её, то это будет серьёзнейшим недочётом. Наверное, многие уже «набили руку» на числовых рядах и способны найти область сходимости устно. В частности, здесь хорошо видно, что предложенный ряд сходится на промежутке . Как выполнить экспресс-анализ? Берём какую-нибудь правильную дробь, например, и выполняем подстановку: Далее тестируем произвольное «внешнее» значение, например : Проверка концов интервала тоже осуществляется в считанные секунды: Таким образом, к решению задачи нужно подойти во «всеоружии» – с известной областью сходимости и записать следующую фразу: данный ряд сходится на . Как вариант, можно привести развёрнутые выкладки нахождения области – но это если вам трудно или если не лень. Ну а теперь амбула (с). Во-первых, не будем торопиться с «тяжёлой артиллерией» – вдруг она не потребуется? Сначала распишем ряд подробно: Что делать? Глядя на степени «икса» и числа внизу, в голову приходит светлая мысль избавиться от последних. Дифференцируем ряд на его интервале сходимости : Но коль скоро мы дифференцировали, то за это придётся «заплатить» интегрированием: Справа в качестве суммы исходного ряда «нарисовался» «высокий» логарифм: Ответ: на интервале Обратите внимание, что в решении фигурировал ряд с суммой на том же интервале, но об этом нас никто не спрашивал. Сегодня я буду разбирать простые примеры, а вам предлагать интересные:)) Пример 3 Найти сумму ряда Краткое решение и ответ в конце урока. Но это ещё далеко не все секреты: Пример 4 Найти сумму ряда Решение: данный ряд сходится в области (проанализируйте, почему). Как обычно расписываем ряд, чтобы поискать «лёгкий путь»: Но вот как бы было хорошо «избавиться» в знаменателе не от , а от . И возникает вопрос, а нельзя ли организовать такую возможность? Можно! Чтобы наверху получить ряд следует искусственно умножить и разделить на «икс». Однако этим действием мы «выключаем из игры» точку , которая входит в область сходимости. И поэтому в ней необходимо вычислить сумму ряда: , чтобы жить спокойно: Прерываем решение «звёздочкой» и работаем с новым «кадром»: Выполняем обратное действие: Интеграл правой части, надо сказать, неприятный, и поэтому с ним лучше разобраться отдельно, причём без пределов интегрирования: и знакомый приём с дробями,… не запутаться бы тут в знаках: Контроль: Таким образом: И теперь главное не забыть про «звёздочку»: Но это ещё не всё! Как подсказывает математическое чутьё, тонким местом исследования являются концы интервала сходимости – и действительно, полученная функция имеет проблемы не только с нулём, но ещё и на правом конце области сходимости ряда. Придётся исследовать его отдельно: Таким образом: Запишем частичную сумму ряда: Сумма исследуемого числового ряда: И, наконец, сумма ряда функционального: Ответ: Такой вот простенький ряд =) Следует отметить, что искусственный приём с домножением и делением на самом деле можно использовать и после «очевидного» дифференцирования, но там получатся более сложные вычисления. Вам понравилось? Но и это ещё не всё! В свете последней части задания всплывает… какой же я тонкий лирик:)) второй способ решения: разложим числовую часть общего члена степенного ряда в сумму дробей (см. выше) и представим его в виде суммы двух рядов: Дальнейшие действия очевидны – веник ломаем по прутикам: 1) 2) Таким образом, функция, к которой сходится ряд на промежутках :
Ответ: На всякого мудреца довольно простоты! И никакого дифференцирования с интегрированием =) Кстати, не нужно думать, что этот способ является каким-то экзотическим – он используется во многих тематических заданиях, причём иной ряд можно разделить даже на 3 части. Обещанная интересность для самостоятельного решения: Пример 5 Найти сумму ряда Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока. Кроме того, встречаются задачи, в которых приходится дифференцировать 2 раза подряд, что «карается» последующим двукратным интегрированием. При этом справедливо следующее…, а чего скромничать – изучим ситуацию в общем виде: пусть функция разложима в степенной ряд на некотором интервале: ну, или можно сказать, что сумма степенного ряда равна – смотря с какой стороны рассуждать. Как уже отмечалось, при почленном дифференцировании ряда на данном интервале получившийся ряд сойдётся к производной: При повторном дифференцировании на том же интервале суммой нового ряда будет вторая производная: И более того, если у функции существуют все производные высших порядков, то дифференцировать можно до бесконечности: Причём, соответствующие ряды, не нужно быть пророком, сходятся к своим производным, а интервал сходимости не меняется. И, разумеется, справедливы обратные выкладки с интегрированием. Но вместо них небольшой фокус – вычислим значения функции и всех её производных в точке : В большинстве задач этого урока мы сначала дифференцировали, а затем интегрировали, но само собой допустим и обратный порядок. Так, в Примере 1* всё было наоборот – и уже из этого простого ряда яснА основная задача первоочередного интегрирования – расчистить «верхний этаж»: Пример 6 Найти сумму степенного ряда Решение: данный ряд сходится на интервале . И вновь не будем пренебрегать поиском простых путей: Очевидно, что основной нашей помехой является множитель , который надо «убрать». Попробуем проинтегрировать ряд почленно: Не айс,… вот если бы внизу нарисовалось – тогда да. Но это ж можно организовать – нужно только понизить изначальную степень на единицу. А делается это очень просто – «отщипываем» один «икс» и выносим его за пределы ряда: Далее работаем с «модифицированным» рядом: Приводим ситуацию в равновесие дифференцированием: И не забываем, что это ещё не окончательная сумма: Ответ: на интервале Заметьте, что здесь нет проблем со знаменателем, так как значение не входит в область сходимости ряда – не забываем контролировать такие моменты! И в заключение…, нет, пожалуй, успокоительная задача:) Пример 7 Найти сумму степенного ряда Моя версия решения внизу страницы. Наверное, у всех уже в глазах мельтешит от разложений, и поэтому самое время принять лекарство – равномерную сходимость ряда, которая по иронии судьбы и стала тому первопричиной :) Кроме того, на грядущем уроке вы узнаете, как определяется сумма произвольного функционального ряда. Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку, потому что статья была действительно одна из самых кропотливых, и вы имели счастье, кстати, познакомиться с её 6-й версией. Всё время казалось «всё», но каждый раз всплывали… к концу статьи я превратился в толстого циника)… ещё какие-то интересные факты, примеры и нюансы. Что-то добавлялось, редактировалось, что-то «выбрасывалось». И на самом деле ещё есть о чём рассказать! Поэтому нужно пересилить себя и поставить . Решения и ответы: Разминочное задание. Решение: а) Распишем несколько членов ряда, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: Ответ: на интервале б) Ориентируемся на табличное разложение : Ответ: ряд сходится на интервале , сумма ряда: . Пример 3. Решение: дифференцируем ряд в его интервале сходимости (на всей числовой прямой) и находим сумму полученного ряда: Пример 5. Решение: данный ряд сходится в области . Ориентируясь на разложение , выполним следующие преобразования: Ответ: Способ второй: данный ряд сходится в области . Вычислим его сумму в середине и выполним следующее преобразование: Дифференцируем полученный ряд: Ответ: Пример 7. Решение: данный ряд сходится на интервале . 1) Найдём сумму 2) Найдём сумму В результате итоговая сумма: Ответ: на интервалах и при . Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |