Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей: Как найти производную? Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически. Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной. Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока: Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания. Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору . Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением: Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры: Пример 1 Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна . В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =) Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Найдём производную: Теперь вычислим производную в точке : Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу : Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде: Ответ: Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения: Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых. ! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны! Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Следующая задача для самостоятельного решения: Пример 2 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке . Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. Теперь разберём два особых случая: 1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид . 2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом: Всё просто: Пример 3 Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж. Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость. Решение: составим уравнение касательной . Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально: Таким образом: Поскольку касательная параллельна оси (Случай № 1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат: Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения: Ответ: , В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая. Следующий пример посвящён тому же Случаю № 1, когда : Пример 4 Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке . Краткое решение и ответ в конце урока Случай № 2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению: Пример 5 Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению): Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции: Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
|
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |