![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Линейные дифференциальные уравнения высших порядковИ снова всех приветствую в разделе «Дифференциальные уравнения», а именно на странице, которая появилась по многочисленным просьбам посетителей сайта. Данная статья является закономерным продолжением уроков об однородных и неоднородных линейных ДУ 2-го порядка, и поэтому нижеследующие материалы эффективнее всего изучать «по горячим следам». Или с уже наработанными навыками решения этих уравнений. Так или иначе, на данный момент у вас должен быть более или менее приличный уровень подготовки по теме. Наверное, многие уже представляют, как выглядят наши «подопечные». Линейное однородное дифференциальное уравнение и, соответственно, в линейном НЕоднородном дифференциальном уравнении справа присутствует ненулевая функция: Достаточно часто названия этих дифуров сокращают до ЛОДУ и ЛНДУ, но я противник излишних аббревиатур. Потому что ЭПСНУУМ =) Ранее мы рассмотрели линейные ДУ 1-го и 2-го порядков, и сегодня пришло время разделаться с их старшими собратьями, обладающих степенями Началом этого урока можно смело считать параграф Линейные однородные уравнения высших порядков (откроется на соседней вкладке) вводной статьи, и перед дальнейшим чтением было бы неплохо пробежаться по нему взглядом. …Есть? Собственно, продолжаем: Пример 1 Найти частное решение дифференциального уравнения Решение: перед нами линейное однородное ДУ 3-го порядка и всё начинается, как уже не раз начиналось. Составим и решим характеристическое уравнение: Внимание! Если вам НЕ ПОНЯТЕН / ПОЗАБЫЛСЯ принцип формирования общего решения, то, пожалуйста, начните с рекомендованного выше параграфа. Частное решение тоже разыскивается по обычному алгоритму – с той поправкой, что увеличивается длительность процесса и его техническая сложность. Сначала используем начальное условие Далее находим первую производную И, наконец, «окучиваем» вторую производную Таким образом, у нас нарисовалась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: Здесь проще всего сложить почленно 2-е и 3-е уравнения, в результате чего получаем: Почти всё готово. Подставим И на завершающем шаге подставим найденные значения констант в общее решение: Ответ: частное решение: С проверкой никаких чудес – сначала проверяем начальные условия:
После чего берём 3-ю производную Получено верное равенство, таким образом, частное решение найдёно верно. …Что-что не помешает, так это небольшая разминка: Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения Краткое решение и ответ в конце урока. Желающие разогреться поосновательнее могут «взять в оборот» ещё 30 примеров из задачника Рябушко (Часть 2, ИДЗ 11.4, Задача № 1), где для особых ценителей есть и диффуры 4-го порядка. Правильные ответы прилагаются! Кстати, повторим немного алгебру – сколько слагаемых входит в общее решение Так как характеристический многочлен Линейные неоднородные уравнения высших порядковЯ буду придерживаться тех же обозначений, что и на уроке о неоднородных ДУ 2-го порядка. Для диффуров порядка
Как вы помните, наиболее трудной частью задачи является отыскание В дифференциальном уравнении В Примере же 1 для уравнения В уравнении Для уравнения Думаю, теперь вам стал понятен неформальный смысл «аномальных» табличных случаев с домножением. И этот принцип так же работает для диффуров высших порядков! Впрочем, не будем торопиться: Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Первый пункт решения пролетает на автопилоте: Но вот дальше хлопот побольше. Прежде всего, обращаем внимание, что правая часть неоднородного ДУ «разношёрстная» – в ней находятся синус с экспонентой. И возникает вопрос: как отыскать частное решение? Не спеша! В подобных ситуациях его удобно разделить на две части Примечание: эта возможность хоть и очевидна, однако строго доказывается в теории. 1) Первый кусок частного решения вроде бы надо искать в виде Дальнейшее – дело техники, главное, тут не запутаться: Вторую производную для надёжности лучше взять «столбиком»: Подставим Таким образом: Следует отметить, что в подобных технически сложных случаях выгоден более простой способ нахождения частного решения, связанный с применением аппарата комплексного анализа, однако в рамках данной статьи я оставлю его за кадром. Соответствующие примеры с пояснениями можно найти, например, в следующем решебнике: Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения Тут всё гораздо проще: Подставим «Сведём» частное решение воедино: Разумеется, его можно было найти и «за один присест», работая с Итак, общее решение неоднородного уравнения: Скомпонуем «родственные» слагаемые: Ответ: Выполним проверку-«лайт». Во-первых, параноидально перепроверим, что числа Подставим неоднородного уравнения:
Повышаем обороты: Пример 4 Решить дифференциальное уравнение Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока. Ещё раз занудно остановлюсь на том, что частное решение желательно разбить на две части: Вторая часть урока будет посвящена наиболее распространённым на практике уравнениям, у которых в правой части находятся экспоненты и/или многочлены: Пример 5 Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка …Мда…, бывает не только любовь, но и трудность с первого взгляда =) Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: Первое, что приходит в голову, это подобрать какой-нибудь корень – здесь он обнаруживается быстро: Всего-то лишь школьная формула куба суммы: Но многие и многие студенты проходят мимо таких возможностей. Какой здесь можно дать совет? Решайте примеров больше и…париться будете меньше! Итак, характеристическое уравнение имеет три кратных корня С частным решением на самом деле тоже всё просто. Смотрим на правую часть неоднородного уравнения, из которой напрашивается подбор Производные – почти подарок: Подставим завоёванные трофеи в левую часть неоднородного уравнения, проведём упрощения и приравняем результат к правой части: Таким образом: Общее решение неоднородного уравнения: Что называется, вся честнАя компания в одном купе: Ответ: Не забываем о проверке! Хотя она здесь особо не нужна – маловероятно, что мы где-то ошиблись и всё так удачно «сошлось». Впрочем, для очистки совести можно «прозвонить» частное решение Очередной типовой пример для самостоятельного решения: Пример 6 Найти общее решение дифференциального уравнения 3-го порядка Пример 7 Решить дифференциальное уравнение четвёртого порядка Решение: с характеристическим уравнением никаких проблем: А вот с частным решением всё несколько занятнее. Исходя из содержания правой части неоднородного ДУ, выдвигаем «штатную» версию подбора: Иметь дело с такими производными – действительно одно удовольствие:) Подставим В результате получаем следующую систему линейных уравнений: Дробей тушеваться не нужно – обычное дело, да и вычисления здесь устные. Из 1-го уравнения: Подставим В результате: Общее решение неоднородного уравнения: И снова немного эстетики: Ответ: А почему бы и нет? – диффур пятого порядка для самостоятельного решения: Пример 8 И коль скоро вы читаете эти строки, то, наверное, ждёте чего-нибудь особенного…. И я, конечно же, не могу обмануть этих ожиданий – пожалуйста, изящное и воздушное уравнение для полной релаксации: Пример 9 Найти частное решение дифференциального уравнения Решения и ответы совсем близко. Дополнительные тематические примеры с решениями можно посмотреть здесь (Задачи 12-15), а также в уже упомянутой книге Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Там же можно ознакомиться с линейными уравнениями с НЕпостоянными коэффициентами – когда среди ...Признайтесь честно, вам понравилось? Рекомендуйте друзьям! Не понравилось?! …Ну что же, всяко бывает... – рекомендуйте недругам! =) Решения и ответы: Пример 2. Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям: Ответ: Пример 4. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: Частное решение неоднородного уравнения найдём как сумму 1) Первую часть ищем в виде 2) Вторую часть ищем в виде Таким образом: Общее решение неоднородного уравнения: Ответ: Пример 6. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: Частное решение ищем в виде В результате: Ответ: Пример 8. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: Пример 9. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|