Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла.
Признак Дирихле. Признак Абеля

В предыдущих статьях мы исследовали сходимость интегралов 1-го и 2-го рода (см. по ссылкам), и в заключительной части урока рассмотрим важное понятие сходимости, которое касается и тех, и других «пациентов». Прежде всего, тех, у которых подынтегральная функция меняет знак.

Начнём по порядку, с интеграла . Если функция положительна (неотрицательна), то проблем никаких – исследуем интеграл по обычной схеме. Если отрицательна – тоже, картинка отобразится симметрично относительно оси вниз, и ситуация будет зеркальной. Если где-то отрицательна, а затем положительна (или наоборот), то интеграл можно разделить на 2 части, и рассмотреть каждый кусок отдельно.

Но как исследовать, например, с интеграл ? Здесь подынтегральная функция принимает то положительные, то отрицательные, то положительные, то отрицательные значения – и так далее, до бесконечности (все помнят синусоиду?). Такие функции называют знакопеременными. Что делать в этом случае?

Этому и посвящен сегодняшний разговор.

Рассмотрим интеграл – с модулем, который уничтожает возможные отрицательные значения подынтегральной функции. Если данный интеграл сходится, то сходиться будет и интеграл , при этом последний называют абсолютно сходящимся.

Примечание: откуда сразу следует, что сходящиеся интегралы от неотрицательных функций, например, , сходятся абсолютно.

Пример 18

Исследовать интегралы на абсолютную сходимость

а) б)

Решение:

а) На интервале от 0 до 3 подынтегральная функция отрицательна, а при бОльших значениях «икс» – положительна. При ином условии, данный интеграл можно разделить на 2 части:
, и поскольку 1-й кусок сходится (т.к. это определённый интеграл), то всё дело сведётся к тривиальному исследованию.

Но условие требует исследовать абсолютную сходимость, и поэтому нам следует рассмотреть интеграл:
– помним, что экспонента положительна, а посему под модулем ей делать нечего.

И сейчас я расскажу вам ещё об одном приёме сравнения, который можно использовать и в других примерах. Разложим экспоненту на множители, распишу очень подробно:
– это преобразование можно выполнить при любом показателе , и, признаться, я выбрал специально – чисто для удобства.

Функция непрерывна на промежутке и , следовательно, она ограничена на нём, то есть, существует число , такое, что для всех справедливо неравенство:

Таким образом:
, значит, по признаку сравнения, интеграл сходится вместе с интегралом , сходимость которого мы установили в 1-й части урока (см. по ссылке выше).

А из сходимости и следует сходимость , таким образом, интеграл сходится, причём сходится абсолютно.

б) , ну, тут всё проще пареной репы.

Рассмотрим интеграл:

Поскольку синус ограничен: , то и для всех из промежутка интегрирования справедливо неравенство:
, значит, по признаку сравнения, интеграл сходится вместе с «эталонным» интегралом .

Вывод: интеграл сходится абсолютно.

Самостоятельно:

Пример 19

Исследовать абсолютную сходимость интеграла

Решение в конце урока.

Но, как вы догадываетесь, это ещё не всё. А что, если интеграл расходится? В этом случае интеграл может не только расходиться, но и сходиться!

Если интеграл сходится, но расходится, то говорят, что он сходится условно.

Пример 20

Исследовать сходимость интеграла

Решение: при рассмотрении простых путей не видно, и поэтому мы переходим к прямому исследованию предложенного интеграла.

Немного забегая вперёд, скажу, что здесь удобно применить признак Дирихле, но почему бы не вооружиться на все случаи жизни?

Как и в случае с определённым интегралом, несобственный интеграл можно проинтегрировать по частям: , единственное, у нас , и вместо следует рассмотреть предел .

Итак:

и по формуле:

Первое слагаемое равно конечному числу: (предел бесконечно малой функции на ограниченную равен нулю - теорема есть такая (см. Пример 9)); второе слагаемое – это недавно разобранный абсолютно сходящийся интеграл.

Таким образом, интеграл сходится. Осталось выяснить, условно или абсолютно.

Исследуем сходимость интеграла

По «общим очертаниям» он напоминает расходящийся интеграл , и поэтому мы постараемся соорудить нужное неравенство, чтобы использовать признак сравнения. Для всех «икс» справедливо неравенство – это понятно? – если значение из интервала возвести в квадрат, то получится мЕньшее значение. Таким образом, на промежутке интегрирования:

Используя тригонометрическую формулу , получаем:

Интеграл – расходится, а интеграл сходится – это «старший брат» нашего интеграла , сходимость которого доказана в 1-й части задания. Следовательно, интеграл является расходящимся, и по признаку сравнения, интеграл тоже расходится.

Вывод: интеграл сходится условно.

И теперь обещанный инструмент исследования:

Признак Дирихле: интеграл вида сходится, если:
1) функция интегрируема в любом конечном промежутке , где и её первообразная на этом промежутке ограничена;
2) при функция монотонно стремится к нулю: .

Применим этот признак для только что разобранного интеграла , в котором обозначим: .

1) На промежутке функция интегрируема:
– и для любого значения полученная первообразная ограничена, «на грубую», можно сделать оценку: .

2) При функция монотонно убывает до нуля: (графически это обычная «школьная» гипербола).

Таким образом, интеграл сходится по признаку Дирихле.

Следует отметить, что требование монотонности функции – существенно, и если оно не выполнено, то признак Дирихле не срабатывает, т.е. интеграл может, как сходиться, так и расходиться. Может быть не всем понятен термин – на всякий случай нарисую пример немонотонного убывания:

Такая вот совсем не монотонная картинка с весёлыми подпрыгиваниями :) …что это за функция?

С помощью признака Дирихле легко установить, что интегралы вида сходятся при любом , т.к. монотонность функций совершенно очевидна – все они по форме похожи на гиперболу .

Но, как вы, наверное, поняли, признак Дирихле не даёт ответа на вопрос, сходится ли интеграл . Это достаточный признак сходимости интеграла .

Следствием признака Дирихле является достаточный признак Абеля:
интеграл вида сходится, если:
1) интеграл сходится (не важно, условно или абсолютно);
2) функция монотонна и ограничена на .

Здесь сразу приходит на ум такой пример:

1) интеграл сходится, 2) на промежутке интегрирования арктангенс монотонно возрастает и ограничен: , значит, по признаку Абеля, данный интеграл сходится.

Следующие интегралы для самостоятельного решения:

Пример 21

Исследовать сходимость интегралов

а) , б)

В пункте «а» следует провести замену и перейти к новым пределам интегрирования (так, как мы это сделали в Примере 17), далее исследуем полученный интеграл – в плане сходимости он будет эквивалентен исходному.

Решение и ответы в конце урока.

Хочу обратить внимание, что формулировка «исследовать сходимость» обычно подразумевает то, что сначала нужно исследовать сходимость предложенного интеграла, и только потом (если потребуется) – сходимость интеграла с модулем. В случае с «халявными» интегралами, наподобие , преподаватель может запросто вернуть задание на доработку, если вы исследовали только интеграл .

И в заключение статьи рассмотрим условную и абсолютную сходимость несобственных интегралов 2-го рода.

Она определяется аналогично. Пусть подынтегральная функция терпит бесконечный разрыва слева или справа, тогда интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится , и условно сходящимся, если он сходится, но – расходится.

Пример 22

Исследовать сходимость интеграла

Решение: подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв слева и является знакопеременной. Исследуем сходимость интеграла:

Поскольку , то для всех значений промежутка интегрирования справедливо неравенство:
, значит, по признаку сравнения, интеграл сходится вместе с «эталонным» интегралом , откуда следует и сходимость интеграла .

Вывод: исследуемый интеграл сходится абсолютно.
Но то был «лёгкий» путь, в котором мы не исследовали сам интеграл . И возникает вопрос: как его исследовать напрямую?

С помощью аналогичного признака Дирихле, сформулирую его как раз для разрыва слева:

Интеграл вида сходится, если:
1) функция интегрируема в любом конечном промежутке , где и её первообразная на этом промежутке ограничена;
2) при функция монотонно стремится к нулю: .

Представим наш интеграл в виде и обозначим

1) Функция интегрируема в любом конечном промежутке , где :
– и более того, её первообразная ограничена в этом промежутке (в силу естественной ограниченности синуса).

2) При функция монотонно убывает до нуля: .

Вывод: интеграл сходится по признаку Дирихле. Ну а абсолютную сходимость мы установили ранее.

И, разумеется, для интегралов 2-го рода справедлив признак Абеля (формулирую снова для точки разрыва слева):

Интеграл вида сходится, если:
1) интеграл сходится (условно или абсолютно);
2) функция монотонна и ограничена на .

Посмотрим, как это работает на практике:

Пример 23

Исследовать сходимость интеграла

Решение: здесь мы пойдём академичным путём и начнём с прямого исследования предложенного интеграла, в котором обозначим и используем признак Абеля:

1) Исследуем сходимость интеграла . Для этого проведём замену , и тогда – если есть какие-то сомнения, выполните обратную замену .

Выясним, во что превратится дифференциал:
так как , то

И осталось найти новые пределы интегрирования:
– если , то ;
– если , то
Вот такая вот метаморфоза! В результате замены несобственный интеграл сменил свой род:
– полученный интеграл сходится условно (см. Пример 20 и после), а значит, таковым является и исходный интеграл .

2) Со вторым пунктом признака Абеля всё проще: на полуинтервале функция ограничена: и при монотонно убывает до единицы: . Геометрически – это кусок всем известной параболы.

Вывод: интеграл сходится по признаку Абеля.

Исследуем его на абсолютную сходимость:

И здесь снова удобно заменить переменную: , тогда:
, и новые пределы интегрирования уже найдены выше:
– первый интеграл сходится по признаку сравнения , а вот второй расходится, но уже по другой части того же признака: (тоже знакомый мотив из Примеров 20, 21).

Таким образом, интеграл расходится, а значит, интеграл сходится условно.

Готово!

Но на практике такая жесть, конечно, встречается крайне редко (это надо как-то очень углублённо учиться :)), и поэтому чисто символический интеграл для самостоятельного решения:

Пример 24

Исследовать сходимость интеграла

На этом цикл статей, посвящённых исследованию несобственных интегралов, завершён – желаю успехов и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 19. Решение: .
Поскольку , то:

Исследуем сходимость интеграла . Сравним его со сходящимся интегралом («эталонный» интеграл). Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, интеграл сходится вместе с интегралом , и в силу установленного выше неравенства (по «обычному» признаку сравнения), сходится и интеграл .

Таким образом, интеграл сходится абсолютно.

Пример 21. Решение:

а)
Проведём замену: . Согласно проведенной замене, и и новые пределы интегрирования:
если , то ;
если , то .

Обозначим
1) На промежутке функция интегрируема:
– и для любого значения полученная первообразная ограничена.
2) при функция монотонно убывает до нуля: .
Таким образом, интеграл сходится по признаку Дирихле.

Исследуем его на абсолютную сходимость:

На всех значений справедливо неравенство , поэтому:

Используем тригонометрическую формулу :

Интеграл расходится, а интеграл сходится по признаку Дирихле, значит, интеграл расходится, и по признаку сравнения, вместе с ним расходится и интеграл .

Вывод: интеграл сходится условно, и в силу проведённой замены, условно сходится и интеграл .

б) В интеграле обозначим .
1) Интеграл сходится по признаку Дирихле.
2) На промежутке интегрирования экспонента ограничена: и монотонно убывает от до нуля: .
Таким образом, исследуемый интеграл сходится по признаку Абеля.

И другой способ решения, на который указал один из читателей: можно обозначить и использовать признак Дирихле. Но это если вам хорошо понятно, почему функция убывает монотонно.

Исследуем интеграл на абсолютную сходимость:

Так как , то:

На промежутке интегрирования , поэтому:
, таким образом, по признаку сравнения (по построенной цепочке неравенства), интеграл сходится вместе с интегралом .

Вывод: исследуемый интеграл сходится абсолютно.

Пример 24. Решение: проведём прямое вычисление:

– данного предела не существует, а значит, не существует и предложенного несобственного интеграла.

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла.Признак Дирихле. Признак Абеля

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла.
Признак Дирихле. Признак Абеля