Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


Зависимые и независимые случайные величины.
Условные законы распределения и ковариация дискретных СВ


На первом уроке по теме уже фигурировали задачи с независимыми случайными величинами, и давайте сразу вспомним, что это значит: случайные величины являются независимыми, если закон распределения вероятностей любой из них, не зависит от того, какие значения приняли (или примут) остальные случайные величины.

Например, система  двух игральных кубиков – совершенно понятно, что результат броска одного кубика никак не влияет на вероятности выпадения граней другого кубика. Или одинаковые независимо работающие игровые автоматы. И, наверное, у некоторых сложилось впечатление, что независимы вообще любые СВ. Однако это далеко не всегда так.

Рассмотрим одновременное сбрасывание двух кубиков-магнитов, у которых северные полюса находятся на стороне 1-очковой грани и южные – на противоположной грани в 6 очков. Будут ли независимыми аналогичные случайные величины? Да, будут. Просто снизятся вероятности выпадения «1» и «6» и увеличатся шансы других граней, т.к. в результате испытания кубики могут притянуться противоположными полюсами.

Теперь рассмотрим систему , в которой кубики сбрасываются последовательно:

 – количество очков, выпавших на первом кубике;

 – количество очков, выпавших на втором кубике, при условии, что он всё время сбрасывается по правую (например) сторону от 1-го кубика.

В этом случае закон распределения случайной величины  зависит от того, как расположился 1-й кубик. Вторая кость может либо притянуться, либо наоборот – отскочить (если «встретились» одноимённые полюса), либо частично или полностью проигнорировать 1-й кубик.

Второй пример: предположим, что  одинаковых игровых автоматов объединены в единую сеть, и  – есть система случайных величин - выигрышей на соответствующих автоматах. Не знаю, законна ли эта схема, но владелец игрового зала вполне может настроить сеть следующим образом: при выпадении крупного выигрыша на каком-либо автомате, автоматически меняются законы распределения выигрышей вообще на всех автоматах. В частности, целесообразно на некоторое время обнулить вероятности крупных выигрышей, чтобы заведение не столкнулось с нехваткой средств (в том случае, если вдруг кто-то выиграет по-крупному ещё раз). Таким образом, рассмотренная система будет зависима.

То были примеры с дискретными случайными величинами. Но, разумеется, существуют и дву- и большемерные непрерывные случайные величины. Пример третий, баян:

 – рост наугад выбранного человека;

 – его вес.

И для наглядности представим две группы людей: ростом 160 и 190 см. Совершенно понятно, что во 2-й  группе окажутся преимущественно более тяжелые люди, нежели в 1-й. То есть, распределение случайной величины  зависит от того, какое значение приняла случайная величина , и поэтому система  зависима. В отличие от жёсткой функциональной зависимости (а-ля ) здесь имеет место вероятностная, или как говорят, стохастическая зависимость. Это проявляется в том, что, выбрав наугад человека невысокого (например) роста, более вероятно столкнуться со «стандартным» весом таких людей, но всё же существует вероятность, что у него окажется очень большой либо очень маленький вес для своей «ростовой категории».

Как составить закон распределения системы зависимых СВ? Для независимых дискретных систем мы использовали теорему умножения вероятностей независимых событий, и Капитан Очевидность подсказывает, что сейчас нужно применить аналогичную теорему для зависимых событий.

В качестве демонстрационного примера рассмотрим колоду из 8 карт, пусть это будут короли и дамы, и простую игру, в которой два игрока последовательно (не важно, в каком порядке) извлекают из колоды по одной карте. Рассмотрим случайную величину , которая символизирует одного игрока и принимает следующие значения:  1, если он извлёк червовую карту, и 0 – если карту другой масти.

Аналогично, пусть случайная величина  символизирует другого игрока и тоже принимает значения 0 либо 1, если он извлёк не черву и черву соответственно.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

 – вероятность того, что оба игрока извлекут черву,

 – вероятность противоположного события, и:

 – вероятность того, что один извлечёт черву, а другой – нет; ну или наоборот:

Таким образом, закон распределения вероятностей зависимой системы :

Контроль: , что и требовалось проверить. …Возможно, у вас возник вопрос, а почему я рассматриваю именно 8, а не 36 карт? Да просто для того, чтобы дроби получились не такими громоздкими.

Теперь немного проанализируем результаты. Если просуммировать вероятности по строкам: , то получится в точности закон распределения случайной величины :

Легко понять, что это распределение соответствует ситуации, когда «иксовый» игрок тянет карту один, без «игрекового» товарища, и его математическое ожидание:
 – равно вероятности извлечения червы из нашей колоды.

Аналогично, если просуммировать вероятности по столбцам, то получим закон распределения одиночной игры второго игрока:

с тем же матожиданием

В силу «симметрии» правил игры, распределения получились одинаковыми, но, в общем случае, они, конечно, различны.

Помимо этого, полезно рассмотреть условные законы распределения вероятностей. Это ситуация, когда одна из случайных величин уже приняла какое-то конкретное значение, или же мы предполагаем это гипотетически.

Пусть «игрековый» игрок тянет карту первым и извлёкает не черву . Вероятность этого события составляет  (суммируем вероятности по первому столбцу таблицы  – см. вверху). Тогда, из той же теоремы умножения вероятностей зависимых событий получаем следующие условные вероятности:
 – вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет не черву при условии, что «игрековый» вытянул не черву;
 – вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет черву, при условии, что «игрековый» вытянул не черву.

…все помнят, как избавляться от четырёхэтажных дробей? И да, формальное, но очень удобное техническое правило вычисления этих вероятностей: сначала следует просуммировать все вероятности по столбцу, и затем каждую вероятность разделить на полученную сумму.

Таким образом, при  условный закон распределения случайной величины  запишется так:

, ОК. Вычислим условное математическое ожидание:

Теперь составим закон распределения случайной величины  при условии, что случайная величина  приняла значение , т.е. «игрековый» игрок извлёк карту червовой масти. Для этого суммируем вероятности 2-го столбца таблицы  (см. вверху):  и вычисляем условные вероятности:
– того, что «иксовый» игрок вытянет не черву,
 – и черву.
Таким образом, искомый условный закон распределения:

Контроль: , и условное математическое ожидание:
 – разумеется, оно получилось меньше, чем в предыдущем случае, так как «игрековый» игрок убавил количество черв в колоде.

«Зеркальным» способом (работая со строками таблицы ) можно составить  – закон распределения случайной величины , при условии, что случайная величина  приняла значение , и условное распределение , когда «иксовый» игрок извлёк черву. Легко понять, что в силу «симметрии» игры, получатся те же распределения и те же значения .

Для непрерывных случайных величин вводятся такие же понятия условных распределений и матожиданий, но если в них нет горячей надобности, то лучше продолжить изучение этого урока.

На практике в большинстве случаев вам предложат готовый закон распределения системы случайных величин:

Пример 4

Двумерная случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

…хотел рассмотреть таблицу побольше, но решил таки не маньячить, ведь главное разобраться в самом принципе решения.

Требуется:

1) Составить законы распределения  и вычислить соответствующие математические ожидания. Сделать обоснованный вывод о зависимости или независимости случайных величин .

Это задание для самостоятельного решения! Напоминаю, что в случае независимости СВ законы  должны получиться одинаковыми и совпасть с законом распределения случайной величины , и законы  – совпасть с . Десятичные дроби, кто не знает или позабыл, удобно делить так: .
Свериться с образцом можно внизу страницы.

2) Вычислить коэффициент ковариации.

Сначала разберёмся в самом термине, и откуда он вообще произошёл: когда случайная величина принимает различные значения, то говорят, что она варьируется, и количественное измерение этой вариации, как вы знаете, выражается дисперсией. Используя формулу вычисления дисперсии, а также свойства матожидания и дисперсии, нетрудно установить, что:

то есть, при сложении двух случайных величин суммируются их дисперсии и добавляется дополнительное слагаемое, характеризующее совместную вариацию или коротко – ковариацию случайных величин.

Ковариация или корреляционный момент – это мера совместной вариации случайных величин.

Обозначение:  или

Ковариация дискретных случайных величин определяется, сейчас буду «выражаться»:),  как математическое ожидание произведения линейных отклонений этих случайных величин от соответствующих матожиданий:

Если , то случайные величины зависимы. Образно говоря, ненулевое значение говорит нам о закономерных «откликах» одной СВ  на изменение другой СВ.

Ковариацию можно вычислить двумя способами, я рассмотрю оба.

Способ первый. По определению математического ожидания:

«Страшная» формула и совсем не страшные вычисления. Сначала составим законы распределения случайных величин  и  – для этого суммируем вероятности по строкам («иксовая» величина) и по столбцам («игрековая» величина):

Взгляните на исходную верхнюю таблицу – всем понятно, как получились распределения? Вычислим матожидания:
 и отклонения значений случайных величин  от соответствующих математических ожиданий:

Полученные отклонения удобно поместить в двумерную таблицу, внутрь которой затем переписать вероятности  из исходной таблицы:

Теперь нужно вычислить все возможные произведения , в качестве примера я выделил:  (красный цвет) и  (синий цвет). Вычисления удобно проводить в Экселе, а на чистовике расписать всё подробно. Я привык работать «по строкам» слева направо и поэтому сначала перечислю все возможные произведения с «иксовым» отклонением -1,6, затем – с отклонением 0,4:

Способ второй, более простой и распространённый. По формуле:

Матожидание произведения СВ определяется как  и технически всё очень просто: берём исходную таблицу задачи и находим все возможные произведения  на соответствующие вероятности ; на рисунке ниже я выделил красным цветом произведение  и синим произведение :

Сначала перечислю все произведения со значением , затем – со значением , но вы, разумеется, можете использовать и другой порядок перебора – кому как удобнее:

Значения  уже вычислены (см. 1-й способ), и осталось применить формулу:

Как отмечалось выше, ненулевое значение ковариации говорит нам о зависимости случайных величин, причём, чем оно больше по модулю, тем эта зависимость ближе к функциональной линейной зависимости . Ибо  определяется через линейные отклонения.

Таким образом, определение можно сформулировать точнее:

Ковариация – это мера линейной зависимости случайных величин.

С нулевым значением всё занятнее. Если установлено, что , то случайные величины могут оказаться как независимыми, так и зависимыми (т.к. зависимость может носить не только линейный характер). Таким образом, этот факт в общем случае нельзя использовать для обоснования независимости СВ!

Однако, если известно, что  независимы, то . В этом легко убедиться аналитически: так как для независимых случайных величин справедливо свойство  (см. предыдущий урок), то по формуле вычисления ковариации:

Какие значения может принимать этот коэффициент? Коэффициент ковариации принимает значения, не превосходящие по модулю  – и чем больше , тем сильнее выражена линейная зависимость. И всё вроде бы хорошо, но есть существенное неудобство такой меры:

Предположим, мы исследуем двумерную непрерывную случайную величину   (готовимся морально :)), компоненты которой измеряются в сантиметрах, и получили значение . Кстати, какая размерность у ковариации? Коль скоро,  – сантиметры, и  – тоже сантиметры, то их произведение и матожидание этого произведения  – выражается в квадратных сантиметрах, т.е. ковариация, как и дисперсия – есть квадратичная величина.

Теперь предположим, что кто-то изучил ту же систему , но использовал не сантиметры, а миллиметры. Так как 1 см = 10 мм, то ковариация увеличится в 100 раз и будет равна !

Поэтому удобно рассмотреть нормированный коэффициент ковариации, который давал бы нам одинаковое и безразмерное значение. Такой коэффициент получил название, продолжаем нашу  задачу:

3) Коэффициент корреляции. Или, точнее, коэффициент линейной корреляции:

, где  – стандартные отклонения случайных величин.

Коэффициент корреляции безразмерен и принимает значения из промежутка:

 (если у вас на практике получилось другое – ищите ошибку).

Чем  больше  по модулю, тем теснее линейная взаимосвязь между величинами , и чем ближе  к нулю – тем такая зависимость выражена меньше. Взаимосвязь считается существенной, начиная примерно с . Крайним значениям   соответствует строгая функциональная зависимость , но на практике, конечно, «идеальных» случаев не встретить.

Очень хочется привести много интересных примеров, но корреляция более актуальна в курсе математической статистики, и поэтому я приберегу их на будущее. Ну а сейчас найдём коэффициент корреляции в нашей задаче. Так. Законы распределения  уже известны, скопирую сверху:

Матожидания найдены: , и осталось вычислить стандартные отклонения. Табличкой уж оформлять не буду, быстрее подсчитать строкой:

Ковариация найдена в предыдущем пункте , и осталось рассчитать коэффициент корреляции:
, таким образом, между величинами  имеет место  линейная зависимость средней тесноты.

Четвёртое задание опять же более характерно для задач математической статистики, но на всякий случай рассмотрим его и здесь:

4) Составить уравнение линейной регрессии  на .

Уравнение линейной регрессии – это функция , которая наилучшим образом приближает значения случайной величины . Для наилучшего приближения, как правило, используют метод наименьших квадратов, и тогда коэффициенты регрессии можно вычислить по формулам:
, вот это чудеса, и 2-й коэффициент:

Таким образом, искомое уравнение регрессии:

ну и давайте ради исследовательского интереса я скопирую табличку сверху:

и вычислю значения функции:
 – в результате получился результат, который близок к наиболее вероятному (см. 2-ю снизу строку) значению ;
 – тоже неплохо, это приближение попало между наиболее вероятными (см. нижнюю строку)  значениями

Вполне и вполне приличные результаты, несмотря на невысокий коэффициент корреляции. И, наверное, вы уже догадались, что чем ближе  по модулю к единице, тем точнее функция  приближает наиболее вероятные значения случайной величины . Но уравнение линейной регрессии, конечно, больше применимо к двумерной непрерывной случайной величине, поскольку позволяет осуществлять реальное прогнозирование, например, наиболее вероятного веса человека по заданному росту.

Творческое задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить коэффициенты ковариации и корреляции для демонстрационного примера данного урока (с картами червовой масти) и оценить тесноту линейной связи между СВ.

после чего с нетерпением переходим к системам непрерывных случайных величин.

Решения и ответы:

Пример 4, пункт 1. Решение:

1) Составим закон распределения , для этого суммируем все вероятности соответствующего столбца:  и делим каждую вероятность на полученную сумму:

Так как вероятности изменились, то мы имеем дело с условными вероятностями, и из этого можно сразу сделать вывод, что случайные величины  зависимы.

! Примечание: в случае независимости СВ вероятности остались бы прежними! – желающие могут проверить данный факт на любом примере предыдущего урока.

Таким образом, условное распределение вероятностей:

и условное математическое ожидание:

2) Составим закон распределения . Суммируем вероятности соответствующего столбца:  и делим каждую из них на полученную сумму:

Таким образом:

И здесь делаем вывод, что распределение случайной величины  зависит от того, какое значение приняла случайная величина , что является ещё более убедительным обоснованием зависимости этих СВ.
Условное матожидание: .

3) Аналогично находим закон распределения :

Таким образом, при  случайная величина  достоверно примет значение

и, очевидно, .

4) Чтобы составить закон распределения , нужно просуммировать все вероятности соответствующей строки:  и разделить каждую из них на полученную сумму:

5) И, наконец,

Контроль: , ч.т.п.

Пример 5. Решение: коэффициент ковариации вычислим по формуле:

 уже найдены,

Таким образом:

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

Найдём стандартные отклонения случайных величин:

Закон распределения  точно такой же, поэтому .

Таким образом:

Полученное значение достаточно близко к нулю, что говорит о слабой зависимости случайных величин. Тем не менее, знак «минус» показывает, что при увеличении значения одной из случайных величин (от 0 до 1) уменьшаются шансы извлечения червы другим игроком

Примечание: при достаточно малых значениях  (ниже 0,3-0,4 по модулю) построение уравнения линейной регрессии теряет смысл, т.к. оно недостоверно приблизит исходные данные.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено