![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Задача с треугольной пирамидойПосле пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки: – четыре вершины; Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так: Треугольная пирамида задана координатами своих вершинДалее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =) Пусть это будут вершины Требуется:Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! 1) найти длину ребра 2) составить уравнения стороны 3) найти угол между рёбрами 4) найти площадь грани 5) найти угол между ребром 6) составить уравнение грани 7) составить уравнения высоты 8) вычислить длину высоты 9) найти основание высоты 10) вычислить объем пирамиды; 11) составить уравнения медианы 12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 13) найти угол между плоскостями 14) выполнить чертёж пирамиды 15) перекреститься левой пяткой. Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие... …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, …. Начнём-с бренчать монетами по карманам. Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи?Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу. Как найти длину ребра пирамиды?1) Найдём длину ребра Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака. Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды?2) Найдём уравнения ребра Уравнения ребра В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям. Как найти угол между рёбрами пирамиды?3) Найдём угол между сторонами Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что С помощью обратной функции находим сам угол: Как найти площадь грани пирамиды?4) Найдём площадь грани Сначала найдём векторное произведение: И вычислим его длину: Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде. Площадь грани Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях. Как найти угол между ребром и гранью?5) Найдём угол И с помощью арксинуса рассчитываем угол: Как найти уравнение грани?6) Составим уравнение плоскости Для проверки можно подставить координаты точек Как составить уравнения высоты пирамиды?7) Звучит грозно, решается просто.
Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение. Как найти длину высоты пирамиды?8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды?9) Найдём основание высоты Неизвестным координатам точки Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки: Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды?10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов: Таким образом: В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани Как составить уравнения медианы грани пирамиды?11) Составим уравнения медианы Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой: За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей: Уравнения медианы составим по точке Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро?12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина Уравнение плоскости составим по точке Очевидно, что координаты точек Как найти угол между гранью и плоскостью?13) Найдём угол между плоскостями Данные плоскости пересекаются, и косинус угла Осталось снять вектор нормали: Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол: От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа: Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат?14) Выполним точный чертёж пирамиды С чего начать? Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему. Построим точку Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка Для точки Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом. Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства! Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра К слову, невидимое нам ребро Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом: То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра: Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней). Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике. Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат. 15) Это пример для самостоятельного решения. В конце решения желательно Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|