Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Задача с треугольной пирамидойПосле пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки: – четыре вершины; Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так: Треугольная пирамида задана координатами своих вершинДалее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =) Пусть это будут вершины . Требуется:Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! 1) найти длину ребра ; 2) составить уравнения стороны ; 3) найти угол между рёбрами ; 4) найти площадь грани ; 5) найти угол между ребром и плоскостью ; 6) составить уравнение грани ; 7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ; 8) вычислить длину высоты ; 9) найти основание высоты ; 10) вычислить объем пирамиды; 11) составить уравнения медианы грани ; 12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину ; 13) найти угол между плоскостями и ; 14) выполнить чертёж пирамиды в прямоугольной декартовой системе координат; 15) перекреститься левой пяткой. Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие... …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, …. Начнём-с бренчать монетами по карманам. Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж: А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен. Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи?Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников: Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу. Как найти длину ребра пирамиды?1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора : Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака. Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой-нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам: Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды?2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой. Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору : В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям. Как найти угол между рёбрами пирамиды?3) Найдём угол между сторонами : Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. пункт 1). С помощью обратной функции находим сам угол: Как найти площадь грани пирамиды?4) Найдём площадь грани : Сначала найдём векторное произведение: И вычислим его длину: Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде. Площадь грани : Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях. Как найти угол между ребром и гранью?5) Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину: И с помощью арксинуса рассчитываем угол: Как найти уравнение грани?6) Составим уравнение плоскости . Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали : Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить». Как составить уравнения высоты пирамиды?7) Звучит грозно, решается просто. – по умолчанию записываем канонические уравнения. Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение. Как найти длину высоты пирамиды?8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости : Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды?9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме: Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра : Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение : Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки: Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды?10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов: Таким образом: В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани. Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты Как составить уравнения медианы грани пирамиды?11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника: Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой: За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей: Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору : Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения. Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро?12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину : К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам. В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать его брата-мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти: Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам : Очевидно, что координаты точек должны «подходить» в полученное уравнение плоскости. Как найти угол между гранью и плоскостью?13) Найдём угол между плоскостями и . Данные плоскости пересекаются, и косинус угла между ними выражается формулой: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина уже известны. Осталось снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления: Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол: От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа: Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат?14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется. С чего начать? Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему. Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком: Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве. Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве. Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости . В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом. Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – . Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения: Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства! Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона спряталась за пирамидой: К слову, невидимое нам ребро лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями . Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом: То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра: Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней). Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике. Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат. 15) Это пример для самостоятельного решения. В конце решения желательно Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |