Определённый интеграл. Как вычислить площадь фигуры?

Переходим к приложениям интегрального исчисления и самой распространённой задаче – как с помощью определённого интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями...

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) разбираться в неопределённом интеграле чуть больше чайника;

2) уметь решать определённые интегралы на уровне тёплых дружеских отношений.

Кроме того, задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» предполагает построение чертежа. Поэтому полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, особенно прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью справочного материала Графики и свойства элементарных функций и статьи о геометрических преобразованиях графиков.

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы ещё со школы, и мы мало уйдем вперёд от школьной программы. Этого урока могло не быть вообще, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент ~~мучается от ненавистной вышки~~ с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории.

Начнём с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Площадь криволинейной трапеции

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать ещё один полезный факт. С точки зрения геометрии, определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Рассмотрим, например, интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси , и мы можем даже не знать, как она выглядит. Но одно можно сказать сразу – определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Впрочем, экзотика нас подождёт, сначала типовые задачи:

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Первый и важнейший этап решения – это построение чертежа. Причем, чертеж нужно построить ПРАВИЛЬНО.

Почти всегда в условии дано несколько функций. С чего начать?

Рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справке Графики и свойства элементарных функций. В частности, там есть очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

Выполним чертёж (обратите внимание, что уравнение задаёт ось ):
Простейший пример на вычисление площади с помощью определенного интеграла
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь понятно, о какой площади идёт речь. Решение продолжается так, пишем:

на отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к статье Определенный интеграл. Примеры решений.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: выполним чертеж:
Площадь фигуры, если она расположена под осью абсцисс
Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:

Ответ:

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.

Гораздо выгоднее и быстрее строить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Однако иногда аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится применять, если, например, график достаточно большой, или поточечное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример тоже будет.

Вернёмся к нашей задаче, сначала рациональнее построить прямую, затем – параболу:
Типовая задача на нахождение площади с помощью определенного интеграла
Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из следует вычесть .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький Пример 3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен не выше оси , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение: сначала выполним чертеж:
Как не допустить ошибку при расчете площади с помощью определенного интеграла

…Эх, хреновенько вышло, но вроде всё разборчиво.

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример ещё полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;

2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Ясно как день, что площади можно (и нужно) сплюсовать, поэтому:

Ответ:

Разберём ещё одно содержательное задание:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Решение: представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:
Дробный предел интегрирования при нахождении площади
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: . Но чему равен нижний предел? Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться, что . Или другая дробь. Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:

,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение: изобразим данную фигуру на чертеже.
Площадь фигуры, ограниченной графиком тригонометрической функции (синусом)

...Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =) ...Привет вам, кстати, из 2011 года, суровые тогда были чертежи...

Для поточечного построения нужно знать внешний вид синусоиды, а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице. В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение.

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций. Это типовой прием, отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде .

(3) Проведем замену переменной: , тогда:

Новые пределы интегрирования:

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.

(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла , расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке.

Ответ:

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ внизу.

Вот, пожалуй, и все основные принципиальные приёмы нахождения площадей. Помимо рассмотренных методов интегрирования, иногда приходится применять формулу интегрирования по частям в определенном интеграле, что не представляет собой особых трудностей. Какой-то интересный пример придумать сложно, хотя…, арккотангенса вроде ещё нигде не встречалось:

Пример 11

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Полного решения не будет, надо же вас немного помучить. А правильный ответ скажу: . Весь необходимый материал для выполнения задания на сайте есть! ;-) И даже больше – через долгие три года, наконец-то появились статьи Вычисление площади в полярных координатах и Вычисление площади, если линия задана параметрически.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: выполним чертеж:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:
Примечание: в задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и в том числе, приближенно.

Пример 5. Решение: выполним чертеж:

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 6. Решение: выполним чертеж.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 10. Решение: изобразим данную фигуру на чертеже:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:
Примечание: в ходе решения использована тригонометрическая формула . Далее я подвёл функцию под знак дифференциала (как вариант, годится замена переменной). Если возникли трудности с данными интегралами, посетите урок Интегралы от тригонометрических функций.

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?