Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор
Геометрия без ошибок
>>> Расчётная программа
Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Жордано-Гаусса
Решение системы уравнений
в различных базисах

Собственные значения
и собственные векторы

Комплексные числа

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производная по определению
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Что такое производная?
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

ФНП:

Область определения функции
2-х переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2 порядка
Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ


По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



Как решить систему линейных уравнений?


На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходиться иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени:  без всяких причудливых вещей вроде  и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.

В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:  
Не так уж редко можно встретить греческие буквы:  – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:

Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения

Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа  , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце-концов, вместо  можно нарисовать солнце, вместо  – птичку, а вместо  – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::

– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»).
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Решение системы по формулам Крамера.
Решение системы с помощью обратной матрицы.
Решение системы методом Гаусса.

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.


Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1

Решить систему линейных уравнений:

Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой. Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия.

Решаем. Из первого уравнения выразим:  
Полученное выражение  подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:  
Значение  нам уже известно, осталось найти:

Ответ:

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике или калькуляторе. Благо, делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ  в первое уравнение :

 – получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ  во второе уравнение :

 – получено верное равенство.

Или, если говорить проще, «всё сошлось»

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было  выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения  и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить  из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше внимание на то, КАК я записал выражение.  Не так: , и ни в коем случае не так: .

Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных правильных и неправильных дробях.

Именно , а не  или !

Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если  – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий. 

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого  метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции. Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:

Справка: математический знак  обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.

Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:

Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить  или .

Далее, выражение для  подставляем во второе и третье уравнения системы:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Третье уравнение делим на 2:

Из второго уравнения выразим  и подставим в третьей уравнение:

Практически всё готово, из третьего уравнения находим:
Из второго уравнения:
Из первого уравнения:

Ответ:

Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:

1)
2)
3)

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).


Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:

Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной  одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Теперь всё просто:  – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

Ответ:

У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?».

Пример 5

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной :

Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты:

Далее:
Первое уравнение умножаем на
Второе уравнение умножаем на

В результате:

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно:

Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.

Теперь подставляем найденное значение  в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:

Ответ:

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.
Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение  умножаем на 4:

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Ответ:

Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.

В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить.

Пример 6

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>>

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?







© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2014. Копирование материалов сайта запрещено