Дифференциальные уравнения,
сводящиеся к однородным (и не только)

Этот небольшой практикум полезно проработать сразу после изучения вводной статьи о дифференциальных уравнениях и статьи об однородных ДУ. Несмотря на то, что указанный в заголовке тип уравнения довольно редко встречается на практике, сейчас вам представится отличная возможность отработать ОБЩУЮ ТЕХНИКУ решения диффуров, об азах и особенностях которой я рассказал на первом же уроке по теме. …Не будем тянуть кота за хвост, а потянем за дифференциальное уравнение вида:

, где – постоянные коэффициенты. При этом особой милости ждать не стОит – в большинстве практических примеров все или многие числа отличны от нуля. Более того, диффур может быть подзашифрован, например, так:

Или так: плюс всякие «шероховатости» с раскрытием скобок и/или перестановкой слагаемых.

Очевидно, что при уравнение является однородным, и сейчас нам предстоит разобраться в ситуации, когда хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю. Сия «неудобная» ситуация разрешима двумя путями…, …наверное, вы соскучились по высшей алгебре:

– если определитель , то данное ДУ приводится к однородному уравнению, если же , то – к уравнению с разделяющимися переменными (либо переменные можно разделить сразу). Гораздо чаще приходится иметь дело с первым случаем, с него и начнём:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: сначала проверяем, равен ли указанный выше определитель нулю: , значит, предложенное ДУ сводится именно к однородному уравнению.

На первом шаге составим систему линейных уравнений с неизвестными «альфа» и «бета»:

По какому принципу составлена эта система, думаю, прекрасно видно. Так как вычисленный определитель системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение:

Здесь я умножил 2-е уравнение на 2 и сложил уравнения почленно. Но, разумеется, можно использовать и любой другой способ решения, проще всего – «школьный».

Теперь в дифференциальном уравнении нужно провести следующие линейные замены:
, где «икс и игрек с птичками» – новые переменные

Обозначения, конечно, не сильно удобные, но другие варианты не особо лучше. Так, вместо иногда используют прописные буквы . Этот вариант, кстати, неплох, если вы оформляете решение в электронном виде, но в рукописи «большая» буква где-нибудь, да получится «малой». В некоторых источниках можно встретить переход к другим буквам, например, к паре . Однако в них точно запутаются «чайники». И поэтому давайте остановимся на «птичках», главное, следить, чтобы они «не улетели».

Итак, в соответствии с обозначенными заменами, в уравнение ВМЕСТО «икса» подставляем , а ВМЕСТО «игрека» :

Дифференциалы раскрываются «без последствий»:

и правая часть тоже в шоколаде:

В результате свободные члены исчезли (как оно и должно было произойти), и мы имеем дело с банальным однородным уравнением, которое решается с помощью стандартной замены :

Разделяем переменные:
и тут Внимание! Сбрасывая в знаменатель, мы рискуем потерять одно из решений, на чём я уже заострял внимание в статье об однородных уравнениях. Соотвествующую проверку выполним после нахождения общего интеграла:

– последние два шага сделаны для удобства последующего интегрирования.

В левой части можно использовать метод неопределённых коэффициентов, но рациональнее применить небольшой трюк, о котором я рассказывал ещё на уроке об интегрировании дробей:

Обратите внимание, что константу не имеет никакого смысла «заталкивать» под логарифм – по той причине, что у нас нарисовались не только они:

Время собирать урожай! – упаковываем логарифмы:

осуществляем обратную замену :

и АККУРАТНО проводим упрощения:

На завершающем этапе возвращаемся к исходным переменным:
– и перед обратными заменами полезно просмотреть всё решение – не потеряли ли мы где-нибудь «птиц».

Опять же проявляем ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ:

Напоминаю, что общий интеграл предпочтительнее записывать в виде .

Теперь вспоминаем о нашем неравносильном преобразовании (делении) и выясняем, является ли функция решением дифференциального уравнения. Используя обратную замену , представляем эту функцию в явном виде:

– и подставляем её вместе со своей производной в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, функция является решением данного ДУ, и, более того, она не учитывается в общем интеграле!

Таким образом, при делении на мы действительно потеряли решение, которое нужно дополнительно указать в ответе:

общий интеграл: , ещё одно решение:

Выполним проверку. Фактически она заключается в нахождении производной от неявно заданной функции:

Приводим выражение левой части к общему знаменателю и избавляемся от дроби:

НЕ ТОРОПЯСЬ, проводим окончательные упрощения:

– в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Это была далеко не самая трудная проверка. По возможности, всегда старайтесь проверять полученный результат!

А теперь выполним задание, которое я обещал разобрать в статье об однородных уравнениях, а именно решим задачу Коши для такого уравнения. Найдём частное решение, удовлетворяющее, например, начальному условию . Как это сделать? Очень просто: в общий интеграл нужно подставить и выяснить, чему равна константа:

Таким образом, частный интеграл:

Мысленно убедитесь, что он удовлетворяет начальному условию

Пара интересных задач для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти общее решение уравнения

Это задание примечательно тем, что «игрек» в нём остаётся «игреком» ;-)

Пример 3

Найти частное решение уравнения , соответствующее начальному условию

А здесь... впрочем, сами оцЕните! И узнаете нечто новое. Да, чуть не забыл – перед тем, как решать, приведите уравнение к виду – так будет гораздо удобнее.

Краткие решения и ответы в конце урока. Не ленимся выполнять проверку! – дифференцирования много не бывает =)

Систематизируем алгоритм решения уравнения (хотя бы один из коэффициентов не равен нулю) для случая :

– Собственно, проверяем условие и делаем вывод, что уравнение сводится к однородному. Этот пункт можно выполнить и устно, ограничившись записью «сведём уравнение к однородному».

– Составляем и решаем систему

– Переходим к новым переменным . «Птички» можно заменить другими подходящими пометками, например, «волнами»: , или же вообще использовать другие буквы – кому как удобнее. Если или , то проводим только одну замену (ну а зачем «вхолостую» менять букву?).

– В результате проведённых замен должно получиться однородное уравнение, которое решается по обычному алгоритму.

– Проводим обратные замены и приходим к общему интегралу. На завершающем этапе обязательно проверяем, не потеряли ли мы корни! Это может произойти в результате деления или сокращения на какую-либо отличную от константы функцию (например, когда мы сокращаем каждое слагаемое на ).

Для случая же всё ещё проще. Здесь мы либо сразу разделяем переменные, либо добиваемся этой возможности с помощью одной из следующих замен:

Сначала разберём частную версию уравнения в которой :

Пример 4

Решить уравнение

Решение: совершенно понятно, что , и альтернативы нет – проводим замену:

Находим дифференциал: , откуда выражаем .

Теперь подставляем и в исходное уравнение:

Дальнейшее просто:

Внимание! Здесь мы сбросили «зет» в знаменатель, и к этому неравносильному преобразованию нужно будет вернуться в конце решения:

Обратная замена :

Теперь проверим, не является ли потерянная функция решением ДУ. Для этого подставляем её вместе со своей производной в исходный диффур :

Является! И она не входит в общий интеграл ни при каком значении константы!

Ответ: общий интеграл: , ещё одно решение:

Проверка:

, что и требовалось проверить.

Казалось бы, такое простенькое уравнение, но если не знать метод решения – придётся туго!

Вторая частная разновидность решается с помощью замены . В силу линейности дифференциала: , откуда выражаем:

После чего подставляем и в наше уравнение:

– и всё дело тоже свелось к уравнению с разделяющимися переменными.

Следует отметить, что уравнение является линейным неоднородным:
(стандартный вид), и к нему применимы обычные алгоритмы решения этого уравнения (см. по ссылке). Но, как вариант, годится и рассмотренная выше замена.

Уравнение с «полным комплектом» для самостоятельного изучения:

Пример 5

Найти общий интеграл уравнения

Подумайте, что лучше обозначить за «зет», впрочем, чего тут думать…. Для разнообразия я провёл решение через дифференциалы, но здесь, конечно, проще привести уравнение к «дробному» виду.

И в заключение урока хочу рассказать поучительную историю о том, почему же всё-таки не нужно тянуть котов за хвосты =) После написания 1-го абзаца статьи меня вдруг заинтересовало происхождение этого фразеологизма. И шустрый Гугл сразу же стал предлагать тематичную рекламу, которую я просто не мог не заскриншотить:

Но это было ещё не всё – в наше время успешен тот, кто учитывает интересы всех клиентов:

Честное слово, не Фотошоп!

И поэтому я рекомендую вам безотлагательно перейти к изучению линейных неоднородных уравнений 1-го порядка – чтобы на китайской барахолке появились и они! =)

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: очевидно, что является решением данного уравнения. Вычислим:
, значит, данное уравнение приводится к однородному. Составим и решим систему:

Проведём замену :

В полученном однородном уравнении проведём замену :

! Примечание: при делении на мы как раз и теряем «очевидное» решение

Обратная замена :

Обратная замена
Ответ: общий интеграл: , ещё одно решение: (которое не вошло в общий интеграл)

Пример 3. Решение: представим уравнение в виде и сведём его однородному. Составим и решим систему:

Проведём замены :

В полученном однородном уравнении проведём замену :

Обратная замена :

Обратные замены :

Общее решение:
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

Ответ: частное решение:

Примечание 1: по условию требовалось решить задачу Коши, и поэтому я не контролировал потерю решений. Но здесь следует помнить, что нужно частное решение может оказаться и среди потерянных!

Примечание 2: данное уравнение является линейным неоднородным: (стандартный вид) и его можно решить другими способами.

Пример 5. Решение: – сведём данное ДУ к уравнению с разделяющимися переменными. Проведём замену:

Выполним подстановки :

Умножим каждое слагаемое на –2:

Разделяем переменные и интегрируем:

! Берём на заметку деление на «зет» и продолжаем:

Обратная замена :

Поставим потерянную функцию и её дифференциал в исходное дифференциальное уравнение :

Таким образом, функция является корнем ДУ и не входит в общий интеграл. Переобозначим константу: и запишем окончательный
ответ: общий интеграл: , ещё одно решение:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным (и не только)

Дифференциальные уравнения,
сводящиеся к однородным (и не только)