![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Числовые ряды повышенной сложностиНе ходите, дети, в Африку гулять Битый час мучаетесь со сходимостью числового ряда? Упорно не работают признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши? Насколько часто такие ряды попадаются на практике? По моей субъективной оценке, их объём составляет где-то 10-15% от общего количества задач типовой работы по теме (если у вас заметно больше – Ряды для чайников). Таким образом, вероятность приятной встречи очень велика, и данная статья как раз рассчитана на тех читателей, которые уже достаточно уверенно умеют исследовать сходимость числового ряда В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения. Первое, и самое главное: в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта. Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =) В лучших традициях сразу живые примеры: ряды А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений: Пример 1 Исследовать сходимость ряда Решение: прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью». Числовая последовательность Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был «Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее: Напоминаю, что В итоге, ряду Здесь я невзначай использовал простое утверждение математического анализа: сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так: “ Три строчки. Всё! Естественно, такому лаконичному оформлению предшествует мысленный анализ либо разбор полётов на черновике. Само собой не возбраняется расписать решение и подробно, но почти всегда идёт «на ура» и короткая версия. Пример 2 Исследовать сходимость ряда Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, подберите ряд для сравнения, распишите ряды. Вот вам и истинный математический анализ =) Примерный образец оформления в конце урока. С увлечением рассматриваем в бинокль других дикобразов: Пример 3 Исследовать сходимость ряда Решение: константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим её за пределы суммы: Напрашивается сравнение с рядом Последовательность Следовательно, для любых натуральных номеров справедливо следующее неравенство: А дробь с бОльшим знаменателем будет меньше дроби с мЕньшим знаменателем: То есть, члены ряда Вывод: по признаку сравнения исследуемый ряд сходится. Если что-то показалось мутным или не очень понятным, рекомендую расписать члены обоих рядов (на худой конец приблизительно вычислить их на калькуляторе), сравнить между собой и снова перечитать выкладки. Второй способ решения: в данном примере годится и предельный признак сравнения. Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом
Обратите внимание, что с выносом «пятёрки» тут можно не возиться и отношение общих членов выгоднее составить именно так, а не наоборот: Вывод: в пределе получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Но предельный признак сравнения работает далеко не всегда. Пара коротких заданий для самостоятельного решения: Пример 4 Исследовать сходимость ряда Многие читатели уже видят, с чем нужно сравнивать, и что ряд явно расходится. Здесь не пригоден признак сравнения с неравенствами, поскольку Пример 5 Исследовать сходимость ряда Здесь же ситуация обратная – не работает предельный признак сравнения. Примерные образцы оформления задач в конце урока. Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение: Пример 6 Исследовать сходимость ряда Решение: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность Сравним наш ряд с рядом Теперь сравним ряд Знаменатель дроби А значит, по признаку сравнения ряд Если немного видоизменить знаменатель: Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп: Пример 7 Исследовать сходимость ряда Решение: необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом Пример 8 Исследовать сходимость ряда Образец в конце урока. Где замечательные пределы, там неподалёку и замечательные эквивалентности: Пример 9 Исследовать сходимость ряда Решение: в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста, чем числитель, поэтому при Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью Оформляем решение: Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом Заменим бесконечно малую эквивалентной: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом. Готово. Пример 10 Исследовать сходимость ряда Это пример для самостоятельного решения. Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд: Пример 11 Исследовать сходимость ряда Решение: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена Пример 12 Исследовать сходимость ряда Решение: очевидно, что нужно использовать признак Даламбера. Но ошибку проще простого допустить при разложении факториалов. Что такое факториал и как его расписать, подробно разобрано в статьях Пределы числовых последовательностей и Признак Даламбера, признаки Коши. Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения: И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно: Таким образом, исследуемый ряд сходится. Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости Пример 13 Исследовать сходимость ряда Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры. Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал Аналогично, факториал Проанализируйте, в чём состоит отличие от Пример 14 Исследовать сходимость ряда А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами. Образцы решений и ответы в конце урока. Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды: Пример 15 Исследовать сходимость ряда Решение: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом Интегральный признак? Несобственный интеграл 1) Сначала исследуем сходимость ряда Подынтегральная функция непрерывна на Таким образом, ряд 2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать! Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку: Пример 16 Исследовать сходимость ряда Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах: Пример 17 Исследовать сходимость ряда Решение: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение: Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд Записываем чистовое решение: Сравним данный ряд со сходящимся рядом Умножим и разделим на сопряженное выражение: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам: Пример 18 Исследовать сходимость ряда Примерный образец решения в конце урока И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе, когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста: Пример 19 Исследовать сходимость ряда Решение: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел: Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода. Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт: Признак РаабеРассмотрим положительный числовой ряд Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь: Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда Поскольку числовая последовательность считается частным случаем функции, то в пределе В результате: Теперь у меня предел функции и применимо правило Лопиталя. В процессе дифференцирования придётся брать производную степенно-показательной функции, которую технически удобно найти отдельно от основного решения: ТерпИте, раз уж сюда забрались – Бармалей в начале статьи предупреждал =) =) Дважды использую правило Лопиталя: Таким образом, исследуемый ряд расходится. Потрачена уйма времени, но мои ворота устояли! Ради интереса я вычислил 142 члена ряда в Экселе (на бОльшее не хватило вычислительной мощности) и похоже (но строго теоретически не гарантировано!), что для данного ряда не выполнен даже необходимый признак сходимости. Посмотреть эпический результат можно здесь >>> После таких злоключений не удержался от соблазна этим же любительским способом проверить и предел Спустя несколько лет история получила неожиданное продолжение, когда один из посетителей сайта предложил короткое и изящное решение данного примера, цитата: «Сегодня добрались глаза и руки до вашего урока «Числовые ряды повышенной сложности», пример 19, где обсуждалось применение признака Раабе. Бессонные ночи нацедили немножечко вдохновения, и вот к какому простому способу практически моментально сделать этот пример я пришёл — формула Стирлинга. И действительно, если воспользоваться эквивалентностью для факториала, то необходимый признак сходимости числового ряда сразу же говорит о том, что смысла дальше «марать» (простите мне мой французский) бумагу не имеет смысла. Выкладку привожу в виде картиночки: К сожалению, автор не представился =( Дополнительно поясняю, что здесь на первом шаге проведена замена Пользуйтесь на здоровье – формула Стирлинга достаточно известна, и решение «легально»! А это ваш слонёнок: Пример 20 Исследовать сходимость ряда Если вы хорошо прониклись идеями данного урока, то справитесь с этим примером! Наше путешествие завершилось на яркой ноте, и, надеюсь, у всех оставило незабываемое впечатление. Желающие продолжения банкета могут пройти на страницу Готовые задачи по высшей математике и закачать архив с дополнительными заданиями по теме. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: сравним данный ряд со сходящимся рядом Пример 4: Решение: сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем предельный признак сравнения: Пример 5: Решение: вынесем множитель-константу общего члена за пределы суммы, от него не зависит сходимость или расходимость ряда: Сравним данный ряд со сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией Пример 8: Решение: сравним данный ряд с расходящимся рядом Пример 10: Решение: сравним данный ряд со сходящимся рядом Пример 13: Решение: используем признак Даламбера: Пример 14: Решение: используем признак Даламбера: Пример 16: Решение: Пример 18: Решение: сравним данный ряд с расходящимся рядом Пример 20: Решение: проверим необходимое условие сходимости ряда. В ходе вычислений типовым приёмом организуем 2-й замечательный предел: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|