Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Примеры решений

Помимо дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных уравнений и линейных неоднородных уравнений первого порядка, в практических задачах время от времени встречаются так называемые уравнения в полных дифференциалах. Да, конечно, ДУ в полных дифференциалах не такой частый гость в контрольных заданиях. Но освоить этот вид уравнений крайне важно, так как приёмы решения, о которых пойдет речь на данном уроке, потребуются при вычислении двойных, тройных, криволинейных интегралов, а также в ряде задач комплексного анализа.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах – вещь довольно простая, вы даже удивитесь, насколько прозрачен и доступен алгоритм решения. Что необходимо знать, для того чтобы разобраться в этих диффурах? Во-первых, нужно ориентироваться в базовых понятиях темы, ответьте прямо сейчас на несколько простейших вопросов:

– Что такое дифференциальное уравнение?
– Что значит решить дифференциальное уравнение?
– Что такое общее решение, общий интеграл, частное решение?

В том случае, если возникло малейшее недопонимание терминов, или вы недавно столкнулись с диффурами и являетесь чайником, пожалуйста, начните с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Согласитесь, плохо быть в неважной форме.

Во-вторых, необходимо уверенно находить частные производные. Всё будет крутиться вокруг них. Счастливые студенты, которые избежали плотного знакомства с частными производными на первом курсе, будут вынуждены добавить их в свои друзья, поскольку без навыков нахождения частных производных читать дальше просто нет смысла.

С любимых незабываемых частных производных и начнём.

Рассмотрим функцию двух переменных:

Такая вот простенькая функция.

Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал .

В контексте данного урока я поменяю букву «зет» на букву «эф»:

Дана функция двух переменных . Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал .

Зачем потребовалась смена буквы? Традиционно сложилось, что в рассматриваемой теме в ходу буква . Кроме того, частные производные первого порядка будем чаще обозначать значками . Как мы помним из вводного урока про дифференциальные уравнения первого порядка, в диффурах «не в почёте» обозначать производную штрихом.

Решаем нашу короткую задачку.

Найдем частные производные первого порядка:

Полный дифференциал составим по формуле:
, или, то же самое:

В данном случае:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Не ожидали? =)

Но самое забавное, что уже известен ответ: , точнее, надо ещё добавить константу, получая общий интеграл , который является решением дифференциального уравнения .

Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид , то есть его левая часть является полным дифференциалом функции . Отсюда и название – уравнение в полных дифференциалах.

Как решить диффур в полных дифференциалах? Очевидно, нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы восстановить исходную функцию и записать общий интеграл , который задаёт семейство функций одной независимой переменной («икс»). Не так давно я что-то там дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование. То есть речь пойдет о частном интегрировании, которое часто используется и в других задачах, упомянутых в начале урока.

Рассмотрим алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

Итак, требуется решить дифференциальное уравнение:

Действие первое. Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения.

Докажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить:

, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

На чистовике проверка проводится немного не так. Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли левая часть уравнения полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так:

“
Проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах:

, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах
”

Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , и уравнение имеет вид:

Ну, а коль скоро уравнение имеет вид , то:

Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить функцию и записать общий интеграл .

Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен.

Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную пока запишем на листочек и спрячем в карман.

Если дана частная производная , то нужная нам функция восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования:

Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных.
Я запишу подробно, сначала используем свойства линейности интеграла:

Еще раз подчеркиваю, что «игрек» в данном случае является константой и выносится за знак интеграла (т. е. не участвует в интегрировании).

В итоге:

Здесь – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т. е. найти частную производную:
– получена исходная подынтегральная функция.

Надеюсь, всем понятно, почему . Функция зависит только от «игрек», а, значит, является константой.

Действие третье.
Берем «недоделанный» результат и дифференцируем его по «игрек»:

Функцию мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись – совершенно законна.

Действие четвертое.
Перепишем результат предыдущего пункта:
А теперь достаем из широких штанин листочек с производной:

Приравниваем:

и уничтожаем всё, что можно уничтожить:

Находим функцию , для этого нужно взять интеграл от правой части:

Заключительный аккорд: подставим найденную функцию в «недоделанный» результат :
и приравняем полученную функцию к нулю, получая тем самым:

Ответ: общий интеграл:

Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные функции , составляем полный дифференциал и приравниваем его к нулю. В результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение.

Второй способ проверки состоит в том, чтобы найти производную неявно заданной функции, ведь общий интеграл – это неявные функции одной (независимой) переменной:

Кому как нравится, кому как удобнее, главное, о проверке не забывать!

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение

Решение:
1) Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:

! Не теряем минус при записи !

, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:

2) Запишем частные производные:
– будем работать с этой производной.
– про эту производную пока забываем.

Если , то:

где – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Напоминаю, что, когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой и выносится за знак интеграла.

3) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта и дифференцируем его по «игрек»:

4) Переписываем найденный результат:
А теперь вспоминаем про «забытую» в начале второго пункта производную:

Приравниваем и упрощаем:

Примечание: на практике решение обычно записывают значительно короче, объединяя пункты № 3 и 4:
, то есть сразу же после нахождения производной приравнивается «забытая» производная. В последнем равенстве проводится взаимоуничтожение членов, откуда следует: .

Восстанавливаем функцию интегрированием по «игрек»:

В «недоделанный» результат пункта № 2 подставляем найденную функцию и записываем

ответ: общий интеграл:

Ответ можно записать и в стандартном виде , но здесь возникает любопытная особенность, о которой я рассказывал на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка. Если мы переносим константу в правую часть, то, строго говоря, у неё следует сменить знак: . Константу (поскольку она может принимать любые значения) желательно переобозначить некоторой другой константой и записать общий интеграл в виде . Если же записать ответ в виде , то формально это будет ошибкой, а неформально – нет. Чтобы избежать лишних телодвижений с переобозначением константы или небрежности в оформлении, лично я предпочитаю оставлять ответ в виде

Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка:

Составим дифференциальное уравнение :

Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока я записал максимально коротко без пунктов, то есть приблизил его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике.

Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим еще пару примеров.

Пример 4

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:
,

, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:

Запишем частные производные первого порядка:
– работаем с этой производной
– про эту производную пока забываем

Если , то:

Здесь является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала.

Находим частную производную по «игрек»:

Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения производной сразу приравнивается «забытая» производная .

Из последнего равенства следует, что , и это простейший случай:

Подставляем найденную функцию в «недоделанный» результат

Ответ: общий интеграл:

Пример 5

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Это пример для самостоятельного решения, заодно проверите свои навыки в нахождении частных производных. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас я рассмотрю обещанный зеркальный метод решения. Обязательно с ним ознакомьтесь, пригодится не только в диффурах, но и некоторых других задачах матана.

Пример 6

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Начало решения точно такое же, необходимо убедиться, что перед нами уравнение в полных дифференциалах:
,

, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:

– про эту производную пока забываем.
– будем работать с этой производной.

Отличие состоит в том, что пляска начинается от другой производной. Может показаться, что второй способ «рассматривать не обязательно», но время от времени выручает именно он. Когда? Когда вы пытаетесь стандартно начать решение с верхней производной , но в результате получается очень трудный интеграл. В такой ситуации всегда следует попробовать начать решение с нижней производной , вполне возможно, что интеграл получится значительно проще.

Итак, если , то:

Восстановление функции проведено частным интегрированием по «игрек».
Когда мы берём интеграл по «игрек», то переменная «икс» считается константой. Именно поэтому константа вынесена за знак интеграла и не принимает участия в интегрировании.
Функция зависит только от «икс» и пока ещё неизвестна.

Теперь находим частную производную по «икс»:

Вспоминаем о «забытой» производной:

Приравниваем результаты и проводим взаимоуничтожение дробей:

Функцию восстанавливаем интегрированием:

Добытый трофей подставляем в недостроенную функцию и записываем:

Ответ: общий интеграл:

Вторым способом можно было решить все примеры, которые мы рассмотрели до этого. Оба способа решения абсолютно равноценны, используйте тот, который вам удобнее.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Решение в образце проведено вторым способом.

Заканчиваю печатать эту статью и обращаю внимание на то, что она получилась неожиданно большой. Когда материалы по диффурам в полных дифференциалах были только в моих планах, думал, урок получится меньше по объему раза в два. Что делать, присутствует новый материал – частное интегрирование. А новый материал в две строчки не уместишь.

Существуют еще так называемые уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Они решаются методом интегрирующего множителя. В моей практике такие уравнения встречались, но всего 2-3 раза, и я не счел целесообразным включать их в методические материалы. Если возникнет необходимость рассмотреть метод интегрирующего множителя, пожалуйста, обратитесь к специализированной литературе по диффурам, в частности, можно воспользоваться решебником Обыкновенные дифференциальные уравнения, авторы – М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Разберётесь легко, поскольку такое уравнение могут предложить только по причине хорошей успеваемости =)

Надеюсь, объяснения были достаточно подробны и понятны.

Полного вам дифференциала!

Решения и ответы:

Пример 3. Решение:
Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:

, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

Таким образом:

Если , то:

Ответ: общий интеграл:

Пример 5. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным дифференциалах:
,

, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:

Если , то:

В последнем равенстве всё, как в мечте:

Ответ: общий интеграл:

Пример 7. Решение:
,

, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:

Если , то:

Находим частную производную по «икс»:

Из последнего равенства после взаимоуничтожения дробей получаем:

Найдем :

Подставим найденную функцию в недостроенную функцию.