Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Переход к новому базису и к новой системе координатЭта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения Но сейчас пришло время или: . Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках: И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики. В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис : Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы: Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису. На иллюстрации хорошо видно готовые результаты: Примечание: заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса. Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому. Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису : Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу: . Или так: . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы. Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты произвольного вектора в старом базисе с его соответствующими координатами в новом базисе . ! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным! Для решения нашей задачи подставим разложения во 2-е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно, то справедливы следующие равенства: С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые. Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения: и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»: Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению …. В его середине находится матрица с координатами векторов , которые записаны в столбцы. И, обозначив , перепишем уравнение в компактном виде: Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева: В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом: Теперь нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует. Я не буду подробно расписывать процесс её нахождения (с которым можно ознакомиться по ссылке) и сразу приведу готовый результат: Пользуясь уравнением , вычислим координаты векторов в базисе : Нетрудно догадаться, что в столбцах полученной матрицы находятся коэффициенты разложения векторов старого базиса по векторам нового базиса: и матрица называется (именно так!) матрицей перехода от базиса к базису . Из статьи о линейных преобразованиях вы узнаете (или уже знаете), что любой квадратной матрице «два на два» соответствует определённое преобразование (грубо говоря, искажение) плоскости, и, как видите, невырожденная матрица «два на два» может иметь и другой геометрический смысл. Любопытные читатели непременно проанализируют, какие линейные преобразования задают рассмотренные матрицы. Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости , при этом векторы 2-го базиса выражены через векторы 1-го: ! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора: В базисе дан вектор . Требуется найти его координаты в базисе . На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений «укладываем» в столбцы матрицы: (векторы следует «перебирать» строго по порядку!): или, если компактнее: Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение: Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора в базисе : Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =) …так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения: Задача 1 1) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём: Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты вектора в базисе с его координатами в базисе . 2) . Краткое решение и ответы в конце урока. Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса: Переход к новой системе координатЭто не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная. Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат. Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение: Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты : Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица . Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку : Теперь «укладываем» коэффициенты разложений в «столбцы» формул : Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии). Вычислим координаты данных точек в исходном базисе : Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы в виде матричного уравнения: или, если компактнее: И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат: В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец: Запишем рабочее матричное уравнение и рассчитаем координаты точек в новой системе координат: Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:)) Ориентация плоскостиУ плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой. По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию. Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным. Так, например, наша «школьная» система координат является правой. Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован. Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат: Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор смотрит вниз. Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока: Преобразование прямоугольных систем координатНа практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид: , где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный). Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён. В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются: Пусть, например, – новое начало: Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат: Для самостоятельного решения: Задача 2 Прямоугольная декартова система координат получена из системы поворотом на угол . 1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты точки через её старые координаты . 2) Найти новые координаты точки , если известно, что угол поворота . На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом. Краткое решение и ответ в конце урока. В общем случае правая прямоугольная система координат получается из системы в два шага: 1) поворотом координатных осей; Ну, или в другом порядке. Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки: Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве: где – координаты точки в аффинной системе ; Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше. И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Задача 1 Решение: 2) Запишем матрицу . Координаты вектора в базисе найдём с помощью матричного уравнения . Примечание: на самом деле такую задачу мы уже решали на уроке о линейной независимости и базисах (см. Примеры 8,9), но недостаток тех решений состоит в том, что метод Крамера позволяет найти новые координаты лишь отдельно взятого вектора. Задача 2 Решение: 2) Поскольку угол поворота составляет , то формулы принимают вид: Ответ: а) , б) Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |