Высшая математика – просто и доступно!
Наш форум, библиотека и блог: 
Повторяем школьный курс
Карта сайта
Функциональные ряды. СтепеннЫе ряды.
Область сходимости ряда
Смех без причины – признак Даламбера
Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения этого урока и всего раздела нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует понимать, что такое ряд и уметь исследовать его на сходимость с помощью основных признаков. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, то нужно последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.
На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды, и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:
– к уроку о нахождении суммы степенного ряда – обратная задача к его разложению;
– к уроку о равномерной сходимости, после которого расправляемся с другими функциональными рядами.
Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям, и некоторым особняком идут Ряды Фурье, которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!
Итак, ориентиры расставлены, поехали:
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:
Все члены ряда 
– это ЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:
В общий член ряда 
помимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так: 
. Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
Как видите, все члены функционального ряда 
– это функции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд. Членами степенного ряда являются целые неотрицательные степени переменной 
либо двучлена 
, умноженные на числовые коэффициенты:
,
при этом значение ноль в степени ноль условно считаем равным единице.
Как вы правильно догадываетесь, 
– это старая знакомая «начинка» числовых рядов, которая зависит только от «эн».
В практических заданиях многие степенные ряды начинаются с 1-го члена, и поэтому в своих статьях я буду часто использовать обозначения 
, 
.
Простенькие примеры:
Следует отметить, что подобные ряды могут содержать и нулевой член (константу), в этом случае его записывают за пределами суммы. Например:
И, кроме того, степени могут «идти с пропусками»:
Это тоже степенные ряды (при желании их можно переписать с отсутствующими степенями и нулевыми коэффициентами).
Сходимость степенного ряда.
Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать, степенной ряд 
.
Переменная 
может принимать любое действительное значение от «минус» бесконечности до «плюс» бесконечности. Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то 
и так далее.
Очевидно, что, подставляя в 
то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд 
будет сходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале 
. Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала 
и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал 
и называется интервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Геометрически ситуация выглядит так:
В данном случае, интервал сходимости ряда: 
, радиус сходимости ряда: 
Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:
>
Здесь интервал сходимости ряда: 
, радиус сходимости: 
, можно было даже не считать, он очевиден.
А что будет происходить на концах интервала 
? В точках 
, 
степенной ряд может как сходиться, так и расходиться, и для выяснения этого нужно проводить дополнительное исследование. И тут речь идёт уже об области сходимости ряда:
– если степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости 
;
– если степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал 
либо 
;
– если степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок 
.
Иными словами, область сходимости ряда – это его интервал абсолютной сходимости + концы / конец данного интервала, если там ряд сходится абсолютно или условно.
С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:
2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении 
. То есть какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: 
. Радиус сходимости: 
. Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.
3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке 
. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: 
. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке , если ряд имеет вид 
, то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: 
.
Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал 
/ полуинтервал / отрезок.
И важно добавить, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.
Исследование степенного ряда на сходимость
После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.
Пример 1
Найти область сходимости степенного ряда 
Задание часто формулируют эквивалентно: найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.
На первом этапе находим интервал сходимости ряда. В большинстве заданий используется схема, основанная на признаке Даламбера для произвольных числовых рядов (на сайте освещен лишь косвенно). Технически нам нужно вычислить предел 
, и с формальной техникой его решения вы уже бОльшей частью знакомы:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.
(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел 
и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.
Кстати, почему 
можно вообще вынести за знак предела? Потому что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.
(5) Устраняем неопределенность 
стандартным способом.
После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.
Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: 
» (любое действительное число – случай № 2 предыдущего параграфа). То есть степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при 
» (значок 
в математике обозначает принадлежность).
Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при 
» (или при либо 
»). Смотрите случай № 3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случай № 1 – ряд сходится на некотором интервале.
В данном случае предел равен 
. Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.
Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу 
. В данном случае:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала берём левый конец 
и подставляем его в наш степенной ряд 
:
при 
.
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
Используем признак Лейбница:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) 
– члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: 
, значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
Далее рассматриваем правый конец интервала 
, подставляем это значение в наш степенной ряд 
:
при 
– сходится.
! Напоминаю, что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.
Таким образом, степенной ряд 
сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: ряд сходится, если 
.
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере 
.
Пример 2
Найти область сходимости степенного ряда 
Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует):
Составляем стандартное неравенство:
ряд сходится при 
Слева нам нужно оставить только 
, поэтому умножаем обе части неравенства на 3:
И раскрываем неравенство с модулем по правилу 
:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) При 
Обратите внимание, что при подстановке значения 
в степенной ряд 
у нас сократились 
. Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.
Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.
Используем признак Лейбница:
– Ряд является знакочередующимся.
– 
– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: 
, значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем его на характер сходимости:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом 
.
Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд 
расходится вместе с рядом 
.
Таким образом, ряд 
сходится условно.
2) При 
– расходится (по доказанному).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 
. При 
ряд сходится условно.
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала 
степенной ряд сходится абсолютно, а в точке 
, как выяснилось – условно.
Пример 3
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала, 
.
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти область сходимости ряда 
.
Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы 
и 
по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень 
, т. е. раскладываем её таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на 
. Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что 
. В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель 
выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что 
и так принимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный
ответ: ряд сходится при 
.
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти область сходимости ряда 
.
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим ещё несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала, 
.
Решение: в общий член степенного ряда входит множитель 
, обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела 
мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:
Составляем стандартное неравенство:
ряд сходится при 
.
Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:
Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение 
в наш степенной ряд 
:
! Будьте предельно внимательны, множитель 
не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» 
. Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любой множитель-константа) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.
Ещё раз заметьте, что в ходе подстановки значения 
в общий член степенного ряда у нас сократилось 
. Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд 
. Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, этот признак мне до ужаса надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.
Используем интегральный признак:
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Исследуем второй конец интервала сходимости.
При 
.
Используем признак Лейбница:
– Ряд является знакочередующимся.
– 
– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: 
, значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится
Полученный числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку 
– расходится (по доказанному).
Ответ: 
– область сходимости исследуемого степенного ряда, при 
ряд сходится условно.
Пример 7
Найти интервал сходимости ряда 
и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Это пример для самостоятельного решения.
Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим ещё два примера. …Хотя, это я зря так порекомендовал, один раз студент ещё и выпил.
Пример 8
Найти интервал сходимости ряда 
и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Решение: найдем интервал сходимости ряда:
Предел 
, по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статье о признаке Даламбера.
Итак, ряд сходится при 
.
Умножаем обе части неравенства на 9:
Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол 
:
Раскрываем модуль:
и прибавляем ко всем частям единицу:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) Если 
, то получается следующий числовой ряд:
Множитель 
бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» 
.
И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились 
, а значит, интервал сходимости найден правильно.
По всем признакам для полученного числового ряда 
следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал в соответствующем параграфе. Повторим.
Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: 
. Таким образом, старшая степень знаменателя равна 
. Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 
.
Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом 
.
Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд 
сходится вместе с рядом 
.
2) Что происходит на другом конце интервала?
При 
– а вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 
.
Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти область сходимости ряда 
.
Достаточно для начала =)
В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы опирались на признак Даламбера и составляли предел 
. Но всегда ли нужно делать именно так? Почти всегда. Однако в некоторых случаях бывает невероятно выгодно привлечь на помощь радикальный признак Коши и составить предел 
, при этом алгоритм решения задачи остаётся прежним! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени, и такие примеры я разберу в статье о равномерной сходимости ряда.
Но «чайникам» с равномерной сходимостью лучше не спешить – сначала целесообразно изучить второй урок начального уровня – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 3. Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:
Ряд сходится при 
Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При 
Проверяем выполнение условий признака Лейбница:
– ряд является знакочередующимся;
– 
– члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела 
не существует.
Вывод: ряд расходится, т. к. не выполнен необходимый признак сходимости.
2) При 
– расходится по той же причине.
Ответ: 
– область сходимости исследуемого степенного ряда.
Пример 5. Решение: с помощью признака Даламбера найдём интервал сходимости:
Ответ: ряд сходится при 
.
Пример 7. Решение: найдем интервал сходимости данного степенного ряда:
Ряд сходится при 
.
Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на 
:
В середине нужно оставить только «икс», для этого вычитаем из каждой части неравенства 3:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При 
Примечание: множитель 
сократился, значит, мы на верном пути.
Используем признак Лейбница:
– ряд является знакочередующимся;
– 
– члены ряда убывают по модулю;
– каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: 
, значит, убывание монотонно.
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем его на абсолютную/условную сходимость:
Используем интегральный признак:
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
Таким образом, ряд 
расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Примечание: здесь можно было использовать и предельный признак сравнения.
Вывод: ряд 
сходится условно.
2) При 
– расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: 
, при 
ряд сходится условно.
Область сходимости окончательно можно записать так: 
, или даже так: 
. Но не нужно :) ;).
Пример 9. Решение: найдем интервал сходимости ряда:
Ряд сходится при 
.
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
1) При 
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
2) При 
– расходится (по доказанному).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 
.
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
© Copyright