![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Графики и основные свойства элементарных функцийДанный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций. Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так. По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление:
Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту, демо-версию можно посмотреть здесь. Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта! И сразу начинаем: Как правильно построить координатные оси?На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей. Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. Чертежи бывают двухмерными и трехмерными. Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат: 1) Чертим координатные оси. Ось 2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси. 3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку. Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить ещё ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях. К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства. Трехмерный случай Здесь почти всё так же. 1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат 2) Подписываем оси. 3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу ...Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но Графики и основные свойства элементарных функцийГрафик линейной функцииЛинейная функция задается уравнением Пример 1 Построить график функции Если Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. Если При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:
Две точки найдены, выполним чертеж:
Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
1) Линейная функция вида 2) Уравнение вида 3) Уравнение вида Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей. Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости. График квадратичной, кубической функции, график многочленаПарабола. График квадратичной функции Вспоминаем некоторые свойства функции Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: Функция Функция При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела. Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций. Пример 2 Построить график функции В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения. Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю: Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную? Итак, решение нашего уравнения: Таким образом, вершина находится в точке Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы: Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» Выполним чертеж:
Для квадратичной функции Если Если Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола. Кубическая параболаКубическая парабола задается функцией
Область определения – любое действительное число: Область значений – любое действительное число: Функция Функция Кубическую параболу тоже удобнее строить с помощью алгоритма «челнока»: Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. График функции
Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:
График функции
Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:
Область значений: То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти. Функция При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело: На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, График гиперболыОпять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу Выполним чертеж: Область значений: Запись В точке Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой. В данном случае ось Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой. Также односторонние пределы Исследуем функцию на бесконечности: Таким образом, ось Функция График функции вида Если Если Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков. Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения Выполним чертеж:
Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола. График показательной функцииВ данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию Напоминаю, что График функции Основные свойства функции Область определения: Область значений: Функция не ограничена сверху: Исследуем поведение функции на минус бесконечности: Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку Теперь рассмотрим случай, когда основание Принципиально так же выглядят графики функций Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью. График логарифмической функцииРассмотрим функцию с натуральным логарифмом Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам. Основные свойства функции Область значений: Функция не ограничена сверху: Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: Принципиально так же выглядит график логарифма при основании Случай В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция Графики тригонометрических функцийС чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса Построим график функции Данная линия называется синусоидой. Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: Основные свойства функции Данная функция является периодической с периодом Область определения: Область значений: Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов: Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует! В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: График косинуса Построим график функции График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением. Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: Графики тангенса и котангенса Построим график функции
Данная функция является периодической с периодом Область определения: Область значений: Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением
Графики обратных тригонометрических функцийПостроим график арксинуса
Область определения: Область значений: Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: Построим график арккосинуса
Построим график арктангенса Всего лишь перевернутая ветка тангенса. Область значений: Арктангенс – функция нечетная: Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: К графику арккотангенса Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией. Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики. Ну что, смертнички, полетаем? =) Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков. Желаю успехов! Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|