Асимптоты графика функции

Призрак асимптоты давно бродил по сайту чтобы, наконец, материализоваться в отдельно взятой статье и привести в особый восторг читателей, озадаченных полным исследованием функции. В школе асимптоты изучают в обзорном порядке (обычно), ибо их нахождение связано с вычислением пределов, а они относятся к высшей математике. …Стоп-стоп, дорогие пионеры, вы куда? Пределы – это легко!

Примеры асимптот встретились сразу же на первом уроке о графиках элементарных функций, и сейчас тема получает детальное рассмотрение.

Итак, что такое асимптота?

Представьте переменную точку, которая «ездит» по графику функции. Асимптота – это прямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность.

Примечание: определение содержательно, если вам необходима формулировка в обозначениях математического анализа, пожалуйста, обратитесь к учебнику.

Попросту говоря, асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко прижимается график функции. Но не пересекает её.

На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:

1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида , где «альфа» – действительное число. Популярная представительница определяет саму ось ординат,
~~с приступом лёгкой тошноты~~ вспоминаем гиперболу .

2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом . Иногда отдельной группой выделяют частный случай – горизонтальные асимптоты . Например, та же гипербола с асимптотой .

Резво пошло-поехало, ударим по теме короткой автоматной очередью:

сколько асимптот может быть у графика функции?

Ни одной, одна, две, три, … или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.

Что значит найти асимптоты графика функции?

Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи. Процесс предполагает нахождение пределов функции.

Теперь о разновидностях асимптот.

Вертикальные асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрыва функции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.

Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой – зависит от контекста.

Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова – любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация: и ось ординат (см. Графики и свойства элементарных функций).

Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют. На ум почему-то пришла парабола. Действительно, где тут «воткнёшь» прямую? …Да…, понимаю…, последователи дядюшки Фрейда забились в истерике =)

Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.

Наклонные асимптоты графика функции

Наклонные (как частный случай – горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если аргумент функции стремится к «плюс» бесконечности или к «минус» бесконечности. Поэтому график функции не может иметь больше двух наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции обладает единственной горизонтальной асимптотой при , а график арктангенса при – двумя такими асимптотами, причём различными.

Когда график и там и там сближается с единственной наклонной асимптотой, то «бесконечности» принято объединять под единой записью . Например, …правильно догадались: .

Общее практическое правило:

если существуют два конечных предела , то прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Если хотя бы один из перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.

Примечание: формулы остаются справедливыми, если «икс» стремится только к «плюс» бесконечностиили только к «минус» бесконечности.

Покажем, что у параболы нет наклонных асимптот:

Предел бесконечен, значит, наклонная асимптота отсутствует. Заметьте, что в нахождении предела необходимость отпала, поскольку ответ уже получен.

Примечание: если у вас возникли / возникнут трудности с пониманием знаков «плюс-минус», «минус-плюс», пожалуйста, посмотрите справку в начале урока о бесконечно малых функциях, где я рассказал, как правильно интерпретировать эти знаки.

Очевидно, что у любой квадратичной, кубической функции, многочлена 4-й и высших степеней также нет наклонных асимптот.

А теперь убедимся, что при у графика тоже нет наклонной асимптоты. Для раскрытия неопределённости используем правило Лопиталя:
, что и требовалось проверить.

При функция неограниченно растёт, однако не существует такой прямой, к которой бы её график приближался бесконечно близко.

Переходим к практической части урока:

Как найти асимптоты графика функции?

Именно так формулируется типовое задание, и оно предполагает нахождение ВСЕХ асимптот графика (вертикальных, наклонных / горизонтальных). Хотя, если быть более точным в постановке вопроса – речь идёт об исследовании на наличие асимптот (ведь таковых может и вовсе не оказаться). Начнём с чего-нибудь простого:

Пример 1

Найти асимптоты графика функции

Решение удобно разбить на два пункта:

1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при , и сразу понятно, что в данной точке функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением , является вертикальной асимптотой графика функции . Но, прежде чем оформить такой вывод, нужно найти односторонние пределы:

Напоминаю технику вычислений, на которой я подобно останавливался в статье Непрерывность функции. Точки разрыва. В выражение под знаком предела вместо «икса» подставляем . В числителе ничего интересного:
.

А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное значение :
, оно и определяет судьбу предела.

Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого – они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАК расположен график функции и построить его КОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:

Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая является вертикальной асимптотой графика функции при .

2) Проверим наличие наклонных асимптот:

Первый предел конечен, поэтому «продолжаем разговор» и находим второй предел:

Второй предел тоже конечен.

Таким образом, наша асимптота:

Вывод: прямая, заданная уравнением является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Для нахождения горизонтальной асимптоты
можно пользоваться упрощенной формулой:

если существует конечный предел , то прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:

Ответ:

По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок:

Исходя из трёх найденных пределов , попытайтесь самостоятельно прикинуть, как может располагаться график функции . Совсем трудно? Найдите 5-6-7-8 точек и отметьте их на чертеже. Впрочем, график данной функции строится с помощью преобразований графика элементарной функции, и читатели, внимательно рассмотревшие Пример 21 указанной статьи легко догадаются, что это за кривая.

Пример 2

Найти асимптоты графика функции

Это пример для самостоятельного решения. Процесс, напоминаю, удобно разбить на два пункта – вертикальные асимптоты и наклонные асимптоты. В образце решения горизонтальная асимптота найдена по упрощенной схеме.

На практике чаще всего встречаются дробно-рациональные функции, и после тренировки на гиперболах усложним задание:

Пример 3

Найти асимптоты графика функции

Решение: раз, два и готово:

1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение:

Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется =)

В целях дальнейшего нахождения односторонних пределов квадратный трёхчлен удобно разложить на множители:
(для компактной записи «минус» внесли в первую скобку). Для подстраховки выполним проверку, мысленно либо на черновике раскрыв скобки.

Перепишем функцию в виде

Найдём односторонние пределы в точке :

и в точке :

Таким образом, прямые являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.

2) Если посмотреть на функцию , то совершенно очевидно, что предел будет конечным и у нас есть горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:

Таким образом, прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.

Ответ:

Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:

Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.

Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка – в конце урока.

Пример 4

Найти асимптоты графика функции

Пример 5

Найти асимптоты графика функции

Это задания для самостоятельного решения. Оба графика снова обладают горизонтальными асимптотами, которые немедленно детектируются по следующим признакам: в Примере 4 порядок роста знаменателя больше, чем порядок роста числителя, а в Примере 5 числитель и знаменатель одного порядка роста. В образце решения первая функция исследована на наличие наклонных асимптот полным путём, а вторая – через предел .

Горизонтальные асимптоты, по моему субъективному впечатлению, встречаются заметно чаще, чем те, которые «по-настоящему наклонены». Долгожданный общий случай:

Пример 6

Найти асимптоты графика функции

Решение: классика жанра:

1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово – отлично! Пункт 1 закрыт.

2) Проверим наличие наклонных асимптот:

Первый предел конечен, поэтому едем дальше. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределённости «бесконечность минус бесконечность» приводим выражение к общему знаменателю:

Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:

Вывод:

Таким образом, при график функции бесконечно близко приближается к прямой :
Единая наклонная асимптота графика, при «икс» стремящемся к «плюс» и «минус» бесконечности

Заметьте, что он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы – важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности (собственно, речь об асимптотах и заходит именно там).

Пример 7

Найти асимптоты графика функции

Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:

1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку .

Прямая является вертикальной асимптотой для графика при .

2) Наклонные асимптоты:

Прямая является наклонной асимптотой для графика при .

Ответ:

Найдённые односторонние пределы и асимптоты с высокой достоверностью позволяют предположить, как выглядит график данной функции. Корректный чертёж в конце урока.

Пример 8

Найти асимптоты графика функции

Это пример для самостоятельного решения, для удобства вычисления некоторых пределов можно почленно разделить числитель на знаменатель. И снова, анализируя полученные результаты, постарайтесь начертить график данной функции.

Очевидно, что обладателями «настоящих» наклонных асимптот являются графики тех дробно-рациональных функций, у которых старшая степень числителя на единицу больше старшей степени знаменателя. Если больше – наклонной асимптоты уже не будет (например, ).

Но в жизни происходят и другие чудеса:

Пример 9

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствует. Но вот наклонные вполне могут быть. Проверяем:

Вспоминаю, как ещё в ВУЗе столкнулся с похожей функцией и просто не мог поверить, что у неё есть наклонная асимптота. До тех пор, пока не вычислил второй предел:

Строго говоря, здесь две неопределённости: и , но так или иначе, нужно использовать метод решения, который разобран в Примерах 5-6 статьи о пределах повышенной сложности. Умножаем и делим на сопряженное выражение, чтобы воспользоваться формулой :

Ответ:

Пожалуй, самая популярная наклонная асимптота.

До сих пор бесконечности удавалось «стричь под одну гребёнку», но бывает, что у графика функции две разные наклонные асимптоты при и при :

Пример 10

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое действительно число, и вертикальных палок быть не может.

Проверим, существуют ли наклонные асимптоты.

Если «икс» стремится к «минус» бесконечности, то:
(при внесении «икса» под квадратный корень необходимо добавить знак «минус» перед корнем, чтобы не потерять отрицательность знаменателя)

Выглядит необычно, но здесь неопределённость «бесконечность минус бесконечность». Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика при .

С «плюс» бесконечностью всё тривиальнее:

А прямая – есть асимптота при .

Ответ:
, если ;
, если .

Не удержусь от графического изображения:
Две разные наклонные асимптоты графика
Это одна из ветвей гиперболы .

Не редкость, когда потенциальное наличие асимптот изначально ограничено областью определения функции:

Пример 11

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: очевидно, что , поэтому рассматриваем только правую полуплоскость, где есть график функции.

1) Функция непрерывна на интервале , а значит, если вертикальная асимптота и существует, то это может быть только ось ординат. Исследуем поведение функции вблизи точки справа:

Обратите внимание, здесь НЕТ неопределённости (на таких случаях акцентировалось внимание в начале статьи Методы решения пределов).

Таким образом, прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой для графика функции при .

2) Исследование на наклонную асимптоту можно провести по полной схеме, но в статье Правила Лопиталя мы выяснили, что линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, следовательно: (см. Пример 1 того же урока).

Вывод: ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Ответ:
, если ;
, если .

Чертёж для наглядности:
Вертикальная и горизонтальная асимптота графика функции логарифм «икс» делённый на «икс»

Интересно, что у вроде бы похожей функции асимптот нет вообще (желающие могут это проверить).

Два заключительных примера для самостоятельного изучения:

Пример 12

Исследовать график функции на наличие асимптот

Для проверки на вертикальные асимптоты сначала нужно найти область определения функции, а затем вычислить пару односторонних пределов в «подозрительных» точках. Наклонные асимптоты тоже не исключены, поскольку функция определена на «плюс» и «минус» бесконечности.

Пример 13

Исследовать график функции на наличие асимптот

А здесь могут быть только наклонные асимптоты, причём направления , следует рассмотреть отдельно.

Надеюсь, вы отыскали нужную асимптоту =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) Вертикальные асимптоты. Функция терпит бесконечный разрыв в точке . Найдём односторонние пределы:

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции при .

2) Наклонные асимптоты.

Прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Ответ:

Чертёж к Примеру 3:

Пример 4. Решение:
1) Вертикальные асимптоты. Функция терпит бесконечный разрыв в точке . Вычислим односторонние пределы:

Примечание: бесконечно малое отрицательное значение в чётной степени равно бесконечно малому положительному значению: .

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

2) Наклонные асимптоты.

Прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Ответ:

Пример 5. Решение:
1) Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот. Найдём точки, в которых знаменатель обращается в ноль:

Действительных корней нет.
Исследуемая функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствуют.

2) Наклонные асимптоты.

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Ответ:

Чертёж к Примеру 7:
Вертикальная и наклонная асимптота графика

Пример 8. Решение:
1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку .
,
Примечание: бесконечно малая отрицательная величина в нечётной степени равна бесконечно малой отрицательной величине: .
.
Прямая (ось ) является вертикальной асимптотой для графика , если .

2) Наклонные асимптоты:

Прямая является наклонной асимптотой для графика при .

Ответ:

График данной функции:

Пример 12:.Решение: найдём область определения функции:

.
Помимо аналитического способа нахождения области определения можно использовать и метод интервалов.

1) Проверим наличие вертикальных асимптот. Для удобства и наглядности вычислений разложим аргумент логарифма на множители:

Вычислим односторонние пределы:
Таким образом, прямые являются вертикальными асимптотами для графика функции при и соответственно.

2) Наклонные асимптоты.
Дважды используем правило Лопиталя:
Первый предел конечен, находим второй предел:

Значит, наклонные асимптоты отсутствуют.

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 13. Решение: так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Выясним, есть ли у графика наклонные асимптоты:

Значит, при у графика нет наклонной асимптоты.

Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой графика данной функции при .