![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решенийНаконец-то длительные каникулы подошли к концу, и я рад приветствовать ценителей интегрального исчисления на новом уроке! Сегодня мы зайдём немножко в дебри темы, которые освещены далеко не во всех учебниках по математическому анализу. И это большое упущение, поскольку задачи на вычисление поверхностных интегралов встречаются даже у студентов-заочников. Что тут сказать… – Пробелы есть, пробелы нужно закрывать! Итак, что же такое поверхностный интеграл? Из самого названия следует, что здесь речь идёт об объединении (интегрировании) некоторой величины по поверхности. Представьте лесную полянку с муравьями…, где-то их больше, где-то меньше, и цель поверхностного интегрирования состоит в том, чтобы вычислить суммарную «муравьиную массу» по поверхности поляны. И этот «детский» пример не так далёк от сути – поверхностные интегралы получили широчайшее распространение в физике, где часто возникает надобность подсчитать ту или иную физическую величину по поверхности. Но коль скоро сайт посвящён математике, то в рамках данного урока я не буду рассматривать все эти приложения, а остановлюсь на технической стороне вопроса – чтобы у вас не возникало трудностей именно с вычислением поверхностных интегралов. Начнём с условностей и обозначений. Поверхности. В практических задачах, как правило, встречаются «обычные», а также кусочно-гладкие поверхности, состоящие из «кусков» плоскостей, цилиндров, параболоидов и иже с ними. Далее по умолчанию будем подразумевать только «хорошие» ограниченные (грубо говоря, не бесконечные) поверхности, позволяющие беспроблемно интегрировать. Система координат по дефолту прямоугольная декартова Поверхность обычно обозначают буквой Поверхностный интеграл по поверхности И здесь сразу возникает вопрос: поверхность – она же в пространстве, так почему интеграла только два? Дело в том, что пространственная поверхность – это объект двумерный. Простейшее доказательство проведём с помощью полюбившегося наглядного пособия =) Расстелите на полу одеяло и задайте на нём, например, декартову систему Ещё более наглядный пример – наш земной Кстати, если поверхность Ну а с другой точки зрения, поверхностный интеграл – это пространственный аналог криволинейного интеграла, и если у вас после этих фраз отлегло от сердца, то можете смело читать дальше =) …правильно догадываетесь – поверхностные интегралы тоже бывают первого рода и второго рода. Поверхностные интегралы первого родаРассмотрим некоторую поверхность Пусть функция трёх переменных Наверное, многие предчувствуют дальнейшее развитие темы. Согласно общему принципу интегрирования, интеграл И нетрудно понять, что при Как решать поверхностные интегралы 1-го рода? Пример 1 С помощью поверхностного интеграла найти площадь фрагмента плоскости …извращение, конечно, но что поделать =) Решение: сначала выполним чертёж. В большинстве случаев без него никак. Для этого запишем уравнение плоскости в отрезках: По причине нахлынувшей ностальгии все чертежи этого урока я выполню от руки. Да и не только по этой – думается, ручное построение поверхностей будет актуально ещё достаточно долго: По условию, площадь треугольника Если поверхность задана функцией двух переменных
В нашем случае речь идёт о площади и поэтому формула упрощается: Перепишем уравнение плоскости в функциональном виде: продолжаем: С областью Двумерный чертёж настоятельно рекомендую даже читателям с высоким уровнем подготовки, ибо «проглючить» тут может как дважды два: После чего решение выходит на финишную прямую: Ответ: Желающие могут найти пару подходящих векторов и проверить результат с помощью векторного произведения. Но это ещё далеко не всё. Зададимся следующим вопросом: а почему поверхность нужно проецировать именно на плоскость Формула вторая: если поверхность
В нашем случае: Перепишем уравнение плоскости в виде: Теперь в уравнении плоскости обнулим «лишнюю» игрековую координату, выяснив тем самым уравнение прямой, которая лежит в плоскости Выполним чертёж проекции Порядок обхода области: таким образом: Что мы и ожидали увидеть. Самостоятельно запишите формулу вычисления поверхностного интеграла для случая, когда поверхность выражена функцией Зачем нужна эта экзотика? Нужна. И более того, не такая уж это и экзотика. В некоторых задачах проецирование на «родную» плоскость Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 2 С помощью поверхностного интеграла вычислить площадь поверхности Тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа – слишком уж каноничен параболоид. Следует отметить, что в этом примере выгодно именно «классическое» интегрирование с проецированием поверхности на плоскость Добавим в наш интеграл какую-нибудь интересную функцию…. Посвящается «математической» доменной зоне и Гуглу в частности:) Пример 3 Вычислить интеграл Решение: порядок построения чертежа подробно рассмотрен в статье о поверхностях, но, тем не менее, кратко повторю: на высоте
Верхнюю часть конуса задаёт функция: Найдём её частные производные: И здесь сразу удобно упростить корень: Таким образом, по формуле (см. выше): Тут, конечно, лучше перейти к полярным координатам: Постараемся ничего не упустить: Ответ: Может ли поверхностный интеграл равняться нулю? Конечно. И отрицательному числу тоже. Ведь подынтегральная функция Рассмотрим два альтернативных пути. Вкратце разберу порядок действий: Способ второй. Проецируем конус на плоскость причём, интеграл придётся представить в виде суммы двух интегралов: а И противоположные «игрековые» знаки приводят к забавной коллизии – в результате интегралы взаимоуничтожаются и сразу получается ноль (если не понятно, почему так, начните решать). А казалось, это был совершенно нерациональный путь! Но то, конечно, частный счастливый случай. Здесь, кстати, мы столкнулись со свойством аддитивности, которое наряду со свойством линейности, разумеется, справедливо и для поверхностных интегралов. Иными словами, поверхность можно разделить на несколько кусков, вычислить интеграл по каждому из них, после чего просуммировать результаты. Способ третий. Проецируем конус на плоскость Аналогично – интеграл представляем как сумму интегралов по ближней Рассмотренная поверхность тоже «хорошо» проецируется на все координатные плоскости, однако так бывает далеко не всегда. Не такая уж редкость, когда в нашем распоряжении оказываются два, а то и единственный путь решения. Соответствующие примеры будут на уроке Поток векторного поля. Но пока с ними повременим. Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 4 Вычислить интеграл Моя версия решения в конце урока. В рамках данной статьи я не буду рассматривать общую формулу вычисления поверхностного интеграла 1-го рода для параметрически заданной поверхности. По той причине, что в большинстве учебных курсов всё дело ограничивается частными декартовыми формулами. Однако читателям-«технарям» просто необходимо ознакомиться с этим материалом – соответствующую информацию можно найти здесь (попроще) и здесь (посложнее). Там же, к слову, есть развёрнутая теория и дополнительные примеры. И в заключение параграфа коротко о «главном» физическом смысле рассмотренного интеграла: если поверхность Логично. У криволинейного интеграла 1-го рода, напоминаю, была масса кривой. Поверхностные интегралы второго родаЗдесь опять прослеживается аналогия с криволинейными интегралами. Если в поверхностном интеграле Второе принципиальное отличие состоит в том, что интегрирование ведётся по ориентированной поверхности. Что это значит? Накройтесь одеялом и представьте, что его «протыкает» ось Одну сторону поверхности считают верхней или положительной, обозначим её через Что называется, по одну сторону одеяла Вы есть, а по другую Вас нет =) И тут даже скептики согласятся, что разница существует. Во многих случаях удобно «безликое» обозначение У верхней стороны одеяла эти векторы образуют с осью Однако это только треть айсберга. Кусочки ориентированной поверхности можно спроецировать на координатные плоскости Но то были шутки – на практике наибольшую популярность снискал «комбинированный» интеграл ! Слагаемые не переставляем, буквы не меняем! И другим не даём. Это стандарт. Начинаем отрабатывать технику интегрирования: Пример 5 Вычислить интеграл Решение: перепишем уравнение плоскости в отрезках: Поверхностный интеграл 2-го рода можно решить двумя способамиСпособ первый. Прямое сведение к двойному интегралу. Для этого удобно использовать свойство линейности: 1) Правило: если нормальные векторы к поверхности
В противном случае (когда углы тупые): ! Правила и формулы переписывайте на бумагу! Чтобы не возвращаться за ними вновь и вновь. В нашем случае Найдём линию пересечения плоскости Таким образом: Второй и третий интегралы решаются аналогично: 2) Правило: если нормальные векторы к поверхности В нашем случае
Громоздкие вычисления надёжнее оформлять «простынёй», 3) И, наконец, наш «родной» интеграл Вместе с родным правилом:) если нормальные векторы к поверхности Очевидно, что у нас снова «острый» случай, и задача облегчается тем, что в подынтегральной функции отсутствует переменная «зет», а значит, уравнение плоскости Сразу находим проекцию и решаем интеграл «одной строкой»: Надо же, одной строкой и вышло =) Осталось просуммировать полученные результаты: Ответ: Ввиду очевидного свойства Надо сказать, мы прорешали универсальное задание, поскольку на практике вам по отдельности могут предложить такой: Второй способ решения. Поверхностный интеграл 2-го рода можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по следующей формуле:
Следует заметить, что все нормальные векторы, наоборот – свободны. Так как в нашем примере поверхность плоская, то во всех её точках вектор
Теперь по обычной формуле вычислим скалярное произведение, при этом константу нормального вектора удобно сразу вынести за скобки: Таким образом, по указанной выше формуле: Поверхностный интеграл 1-го рода, как вы помните, можно вычислить тремя способами, …но я уж не буду таким извергом =) Ограничимся проецированием поверхности Функция Скопирую для наглядности проекцию: Интеграл таки лучше взять поэтапно: 2) Ответ: Может показаться, что второй способ легче первого, но так бывает далеко не всегда И немного забегая вперёд, сообщу, что рассмотренное в задаче множество векторов Для самостоятельного решения: Пример 6 Вычислить интеграл Нет, это вовсе не занудство, треугольник – самая распространённая поверхность, которая встречается чуть ли не в половине тематических задач. Постарайтесь решить интеграл обоими способами: в первом случае следует проявить повышенное внимание при выборе формулы (см. правила Примера 5), а во втором нужно иметь в виду, что «недостающие» компоненты векторной функции равны нулю. Краткое решение и ответ в конце урока. Но это ещё не всё! Продолжаем: Пример 7 Вычислить интеграл Формулировки внешняя сторона и внутренняя сторона распространены и интуитивно понятны, но они таят в себе немало опасностей. Давайте разбираться, в чём дело: Решение: чертёж здесь очень прост: И первое отличие касается нормальных векторов поверхности . У каждой точки полусферы он свой (в качестве примера я изобразил пару штук). Решим задачу первым способом: 1) Вычислим И тут нас поджидает сюрприз: нормальные векторы полусферы образуют с полуосью В силу свойства аддитивности, поверхностный интеграл можно (и нужно) разделить на две части: Для ближней к нам четвертинки сферы, которая выражается функцией Для дальней четвертинки Таким образом: где 2) С интегралом Следовательно: 3) С интегралом
К слову, для полной сферы, поверхностный интеграл нужно дробить и в этом пункте. Осталось вычислить интегралы и просуммировать результаты. Но повторять что-то не хочется =) Конечно, здесь проще второй способ. Хотя, справедливости ради, ненамного: Запишем функцию векторного поля: Поскольку нормальные векторы поверхности В данном случае: Таким образом: Еще раз повторим смысл этих функций: каждой точке Вычислим скалярное произведение: Сводим дело к поверхностному интегралу 1-го рода, не забывая, что Самостоятельно доведите решение до конца по формуле Ответ: Соответственно, интеграл по нижней стороне этой же полусферы будет равняться Несложный и познавательный пример для самостоятельного изучения: Пример 8 Вычислить поверхностный интеграл В конце страницы есть решение обоими способами. Ну а теперь пришло время поздравить всех выживших с успешным (надеюсь) приобретением новых знаний и навыков. И это действительно достижение, поскольку данная статья является одной из самых сложных на сайте. На очереди интереснейшая Теория поля, к которой мы плавно подходили в ходе изучения криволинейных и поверхностных интегралов. Не пропустите! Решения и ответы: Пример 2: Решение: выполним чертежи: В данном случае: Таким образом: Осуществим переход к полярной системе координат: Ответ: Пример 4. Решение: перепишем уравнение плоскости в отрезках: В данном случае: Таким образом: Найдём прямую Таким образом: Ответ: Пример 6. Решение: интеграл несколько проще вычислить первым способом. Выполним чертёж: В данном случае: Найдём линию пересечения плоскости Таким образом: Ответ: Второй способ решения можно найти здесь. Пример 8. Решение: выполним чертёж: 1) Поскольку поверхность параллельна оси 2) Интеграл Изобразим область В результате: Способ второй: сведём решении к поверхностному интегралу 1-го рода: В данном случае: Поскольку нормальные векторы внутренней стороны Вычислим скалярное произведение: Таким образом: Используем формулу Изобразим область Ответ: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|