![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Однородные дифференциальные уравнения первого порядкаНа данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными. В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике. В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя Возникает вопрос – как же решить этот диффур? Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: В исходное уравнение: вместо Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным. Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: и обе части делим на эту самую лямбду: Вывод: Данное уравнение является однородным Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно. Как решить однородное дифференциальное уравнение?У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены. Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции
Выясняем, во что превратится производная Подставляем Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) После подстановки проводим максимальные упрощения: Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными. Поскольку После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла. Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла? Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла: Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно: Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте! Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий: Пример 2 Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Ответ записать в виде ...Тут тоже получилась довольно простенькая проверка. А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы, Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения Аналогичная история с третьим уравнением И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто ;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью. Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они: Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Не правда ли простой пример? ;-) Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение После проверки на «разделяемость» проводим замену Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»: И вот здесь СТОП. При делении на И эти решения мы рискуем потерять. Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли Берём всё это на заметку и продолжаем: Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2: Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы: Умножим все слагаемые на Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения общий интеграл: Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:) Для самостоятельного решения: Пример 4 Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение Общий интеграл проверить дифференцированием. Полное решение и ответ в конце урока. Рассмотрим ещё пару типовых примеров: Пример 5 Решить дифференциальное уравнение Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …». ...замену С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители:
Ответ: общий интеграл: Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 6 Решить дифференциальное уравнение ...Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница ;) И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами: Пример 7 Решить дифференциальное уравнение Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой: Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу Данное равенство справедливо, если Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение Продолжаем решение стандартной заменой После подстановки максимально упрощаем уравнение: Разделяем переменные: И вот здесь снова СТОП: при делении на Очевидно, что первая функция является решением уравнения И при делении на Берём это на заметку и интегрируем обе части: Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов: Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Находим интегралы: Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить: Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение Ответ: общий интеграл: Здесь не так трудно выразить общее решение: Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную: Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай: Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения: Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления: Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта: Внимание! Функцию И в нашем случае общий интеграл удобно записать так: Упаковываем логарифмы правой части: Упрощаем дальше: Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю: Таким образом, потеря второй ветки решения ( И заключительный штрих, сбрасываем Ответ: общий интеграл: Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся. И в заключение урока своего рода экзаменационный пример: Пример 9 Решить дифференциальное уравнение Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли. Итак:при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на Если проводится замена Вот ещё одна опасная ситуация: Здесь, избавляясь от С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения. Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным; Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Успешного продвижения! Решения и ответы: Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо Проведем замену: Разделяем переменные и интегрируем: Перед обратной заменой результат целесообразно упростить: Ответ: общий интеграл: Проверка: дифференцируем ответ:
Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность: общий интеграл: Проверка: Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену Контроль: Берём их на заметку и продолжаем: На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция Ответ: общий интеграл: Пример 9. Решение: разделим обе части на Данное уравнение является однородным, проведем замену Разделяем переменные, при этом функцию Контроль: Интегрируем: Решение Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|