Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Предел функции комплексной
переменной. Примеры решений

Производная комплексной
функции. Примеры решений

Как найти функцию
комплексной переменной?

Конформное отображение
Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом


  Карта сайта


Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден  ввиду наличия  множителя .

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

вместо  подставляем , вместо  подставляем , производную не трогаем:

Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

и обе части делим на эту самую лямбду:


В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.

Как решить однородное дифференциальное уравнение?

У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.

Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции  (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

, почти всегда пишут коротко:

Выясняем, во что превратится производная  при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:

Подставляем  и  в исходное уравнение :

Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .

После подстановки проводим максимальные упрощения:


Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.

Поскольку  – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:

Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:

Переменные разделены, интегрируем:


Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка, константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:

В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.

Ответ: общий интеграл:

Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.

Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:

 – ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.

Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):

 

И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:

Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно:

Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.

Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!

Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:

Пример 2

Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.

Ответ записать в виде , выполнить проверку.

...Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.

А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:

Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!

И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т. к.  не удовлетворяет исходному диффуру.

Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили»  в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли  решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл  при .

И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто ;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.

Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть  и , а посему сразу понятно, что  не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т. к. она вошла в общий интеграл  при нулевом значении константы.

Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Не правда ли простой пример? ;-)

Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!

После проверки на «разделяемость» проводим замену  и максимально упрощаем уравнение:

Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:

И вот здесь СТОП. При делении на  мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:

Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем  и её производную  в наш диффур:

 – получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.

И эти решения мы рискуем потерять.

Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является. И тут один их читателей задал вопрос: «Почему? Ведь получается  уравнение , которое имеет корни». А дело в том, что это не тождество (равенство справедливое для всех функций («игреков»)). Здесь предполагалось , однако не судьба.

Берём всё это на заметку и продолжаем:

Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.

Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:

Константу  я переобозначу через :

(если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)

Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:

И вот только теперь обратная замена :

Умножим все слагаемые на :

Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе:

общий интеграл:

Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Для самостоятельного решения:

Пример 4

Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение

Общий интеграл проверить дифференцированием.

Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим ещё пару типовых примеров:

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение

Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».

...замену , и идём проторенной дорогой:


С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители: , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:



Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :

Ответ: общий интеграл:

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение

...Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница ;)

И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Это очень интересный пример, прямо целый триллер!

Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:

Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :

И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует  – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим  и   в исходное уравнение:

Данное равенство справедливо, если , то есть при делении на  мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .

Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне  речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».

Продолжаем решение стандартной заменой :
:

После подстановки максимально упрощаем уравнение:

Разделяем переменные:

И вот здесь снова СТОП: при делении на  мы рискуем потерять две функции. Так как , то это функции:

Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем  и её производную :

 – получено верное равенство, значит, функция  тоже является решением дифференциального уравнения.

И при делении на  мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти

Берём это на заметку и интегрируем обе части:

Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:

Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:


Таким образом:

Находим интегралы:

 – так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.

Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить:

Сбрасываем цепи:

И обратная замена :

Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т. к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.

Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:

Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.

Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
 
и подставим  в левую часть уравнения:

– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.

Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:

Пример 8

Решить дифференциальное уравнение

Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь ,  в исходное уравнение:

И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:

Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения:
, если , и
, если .

Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления:
, где «сигнум икс» – специальная функция, которая возвращает знак «икс»: , пользуйтесь смело, это известная функция.

Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта:
, но здесь ОБЯЗАТЕЛЬНО нужен комментарий о том, что знак «+» соответствует случаю , а знак «–» – случаю .

Внимание! Функцию  или знаки  «отрывать» от корня нельзя! Это может закончиться фатальной ошибкой. Поэтому при разделении переменных знаки  мигрируют вместе с корнем в левую часть:
(контролируем, что – не решение)
навешиваем интегралы:

и сейчас вторая новинка, на этот раз по теме «Интегралы». Интеграл , как многие помнят, равен табличному «длинному» логарифму , а интеграл от  не только тому же логарифму со знаком «минус», но и его «собрату»: . Желающие могут проверить этот факт дифференцированием.

И в нашем случае общий интеграл удобно записать так:

Упаковываем логарифмы правой части:

…возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , положительно, а значит, модуль записывать не обязательно.

Упрощаем дальше:

и вот только теперь обратная замена :

Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю:

и небольшое чудо: поскольку , то в результате раскрытия модуля у нас появляются те же два случая со знаками :

после чего «минусы» сокращаются:

Таким образом, потеря второй ветки решения () нам бы здесь тоже «сошла с рук», но так, разумеется, бывает не всегда, и эту ветку можно реально потерять.

И заключительный штрих, сбрасываем на нижний этаж левой части:

Ответ: общий интеграл:

Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.

И в заключение урока своего рода экзаменационный пример:

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли.

Итак:

при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на  нужно проверить, не являются ли функции  решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на надобность такой проверки отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.

Если проводится замена и есть квадратный корень, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль: , и далее сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может привести к ошибочному ответу.

Вот ещё одна опасная ситуация:

Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли  решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции ,  которые могут оказаться решениями.

С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции  , так как она изначально «заявлена» в знаменателе.

Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.

Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным;

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо  подставим , а вместо  подставим :

В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.

Проведем замену:
Подставим  и  в исходное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:

Обратная замена :

Ответ: общий интеграл:

Проверка: дифференцируем ответ:


умножаем обе части на :

и делим на :

 – получено исходное ДУ, значит, общий интеграл найден верно.

Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность:

Таким образом, данное уравнение является однородным.
Проведем замену:


После подстановки проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные и интегрируем:

Контроль:
 – не является решением уравнения ,
а вот , очевидно, является.
Интегрируем:

и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:

Проведём обратную замену :

Решение  в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно прописать в ответе:

общий интеграл: . Ещё одно решение:

Проверка:

 – в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену :


Разделяем переменные:

 

Контроль: не является решением, а вот трёхчлен раскладывается на множители: , и поэтому в поле нашего пристального внимания попадают две функции:

Обе функции являются корнями ДУ (проверьте самостоятельно), и в результате деления мы рискуем потерять эти решения!

Берём их на заметку и продолжаем:

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:



Таким образом:


Получившийся общий интеграл упрощаем:

И после упрощений выполняем обратную замену :

На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция  вошла в общий интеграл (при ), однако  – НЕ вошла, и поэтому её необходимо приписать дополнительно:

Ответ: общий интеграл: . Еще одно решение:

Пример 9. Решение: разделим обе части на :

!  является решением исходного уравнения.

Данное уравнение является однородным, проведем замену :

Разделяем переменные, при этом функцию  следует обязательно оставить при корне:

 (поскольку , если )

Контроль:  оказался в знаменателе, а значит, проверке подлежит функция . Подставляем её вместе с её производной  в исходное уравнение:
 – получено верное равенство, значит,  – это одно из решений ДУ.

Интегрируем:

Обратная замена :

Решение  не вошло в общий интеграл, и поэтому его следует дополнительно указать в ответе.
Ответ: общий интеграл: , ещё решения: .

Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием , то следует выбрать нужную ветку:  (т. к. «икс» равно ) и выполнить подстановку:  – искомый частный интеграл.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5


© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте