Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Однородные дифференциальные уравнения первого порядкаНа данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными. В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике. В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя . Возникает вопрос – как же решить этот диффур? Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: В исходное уравнение: вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем: Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным. Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: и обе части делим на эту самую лямбду: Вывод: Данное уравнение является однородным Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно. Как решить однородное дифференциальное уравнение?У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены. Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»: , почти всегда пишут коротко: Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то: Подставляем и в исходное уравнение : Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, . После подстановки проводим максимальные упрощения: Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными. Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: . После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла. Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла? Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла: Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно: Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте! Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий: Пример 2 Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Ответ записать в виде , выполнить проверку. ...Тут тоже получилась довольно простенькая проверка. А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы, Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т. к. не удовлетворяет исходному диффуру. Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при . И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто ;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью. Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т. к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они: Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Не правда ли простой пример? ;-) Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие! После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение: Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»: И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции: И эти решения мы рискуем потерять. Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является. И тут один их читателей задал вопрос: «Почему? Ведь получается уравнение , которое имеет корни». А дело в том, что это не тождество (равенство справедливое для всех функций («игреков»)). Здесь предполагалось , однако не судьба. Берём всё это на заметку и продолжаем: Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2: Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы: Умножим все слагаемые на : Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе: общий интеграл: Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:) Для самостоятельного решения: Пример 4 Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение Общий интеграл проверить дифференцированием. Полное решение и ответ в конце урока. Рассмотрим ещё пару типовых примеров: Пример 5 Решить дифференциальное уравнение Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …». ...замену , и идём проторенной дорогой: С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители: , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Ответ: общий интеграл: Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 6 Решить дифференциальное уравнение ...Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница ;) И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами: Пример 7 Решить дифференциальное уравнение Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой: Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на : И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение: Данное равенство справедливо, если , то есть при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению . Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили». Продолжаем решение стандартной заменой : После подстановки максимально упрощаем уравнение: Разделяем переменные: И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как
, то это функции: Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную : И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти Берём это на заметку и интегрируем обе части: Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов: Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Находим интегралы: Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить: Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т. к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу. Ответ: общий интеграл: . Ещё решения: Здесь не так трудно выразить общее решение: Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную: Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай: Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение: И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду: Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения: Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления: Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта: Внимание! Функцию или знаки «отрывать» от корня нельзя! Это может закончиться фатальной ошибкой. Поэтому при разделении переменных знаки мигрируют вместе с корнем в левую часть: И в нашем случае общий интеграл удобно записать так: Упаковываем логарифмы правой части: Упрощаем дальше: Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю: Таким образом, потеря второй ветки решения () нам бы здесь тоже «сошла с рук», но так, разумеется, бывает не всегда, и эту ветку можно реально потерять. И заключительный штрих, сбрасываем на нижний этаж левой части: Ответ: общий интеграл: Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся. И в заключение урока своего рода экзаменационный пример: Пример 9 Решить дифференциальное уравнение Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли. Итак:при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на нужно проверить, не являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на надобность такой проверки отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль. Если проводится замена и есть квадратный корень, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль: , и далее сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может привести к ошибочному ответу. Вот ещё одна опасная ситуация: Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями. С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она изначально «заявлена» в знаменателе. Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения. Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным; Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Успешного продвижения! Решения и ответы: Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим : Проведем замену: Разделяем переменные и интегрируем: Перед обратной заменой результат целесообразно упростить: Ответ: общий интеграл: Проверка: дифференцируем ответ:
Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность: общий интеграл: . Ещё одно решение: Проверка: Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену : Контроль: не является решением, а вот трёхчлен раскладывается на множители: , и поэтому в поле нашего пристального внимания попадают две функции: Берём их на заметку и продолжаем: На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция вошла в общий интеграл (при ), однако – НЕ вошла, и поэтому её необходимо приписать дополнительно: Ответ: общий интеграл: . Еще одно решение: Пример 9. Решение: разделим обе части на : Данное уравнение является однородным, проведем замену : Разделяем переменные, при этом функцию следует обязательно оставить при корне: Контроль: оказался в знаменателе, а значит, проверке подлежит функция . Подставляем её вместе с её производной в исходное уравнение: Интегрируем: Решение не вошло в общий интеграл, и поэтому его следует дополнительно указать в ответе. Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием , то следует выбрать нужную ветку: (т. к. «икс» равно ) и выполнить подстановку: – искомый частный интеграл. Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам, cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5 |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |