Частные производные функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространённое тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на зачётах и экзаменах.

Для эффективного изучения материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.

Быстренько повторим понятие функции двух переменных, я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.

Пример: – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

С геометрической точки зрения, функция двух переменных обычно представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который ~~никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель~~ является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

…Да, кстати, для этой темы я-таки создал маленькую pdf-книжку, которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции .

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:
или (читается «дэ зет по дэ икс») – частная производная по «икс»;
или («дэ зет по дэ игрек») – частная производная по «игрек».

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (числом).

Решаем:

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, ничего не трогаем. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – семёрки.

(3) Используем табличные производные и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причёсываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой.

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего выносить не нужно, поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще, в принципе, для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .

В чём смысл частных производных?

По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:

– это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.

! Примечание: подразумеваются направления, параллельные координатным осям.

В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»):
– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).

Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:

Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции в точке по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси (параллельно данной оси), то спустимся вниз по склону поверхности.

Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:

Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке по направлению оси функция возрастает. Если совсем просто, то здесь нас ожидает подъём в гору.

Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.

Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, можно сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности в каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям. И вот тут вот нам и помогут частные производные. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока вернёмся к технической стороне вопроса.

Систематизируем элементарные прикладные правила:

1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.

2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения:
или («дэ два зет по дэ икс квадрат») – вторая производная по «икс»;
или – вторая производная по «игрек»;
или – смешанная производная «икс по игрек»;
или – смешанная производная «игрек по икс».

Со второй производной никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берём частную производную и дифференцируем её ещё раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка можно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс». Никаких хитростей, берём и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.

Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время:

Пример 2

Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти все производные второго порядка.

Это пример для самостоятельного решения, свериться можно в конце урока. Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к занятию Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь брать подобные производные «с лёту».

Набиваем руку на более сложных примерах:

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: найдём частные производные первого порядка, традиционно начнём с «иксовой»:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

На очереди «игрековая» производная:

(1) Выносим константы за знак производной, в данной случае константой считается .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

, отлично.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То есть в формулу нужно ~~тупо~~ просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и часто относят в числитель:

И, по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка.

Он выглядит так:

ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:

и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты , произведение и не забыв удвоить смешанную производную:

Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования.

Пример 4

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Решение, кстати, в принципе, можно начинать и с «игрековой» производной, но смотреться это будет весьма странно:

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в удобном для дифференцирования виде.

Аналогично:

Запишем полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Решаем, сверяемся, продолжаем.

Довольно часто рассмотренные правила применяются в комбинации:

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

Решение, опять же не поленюсь, с комментариями:

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое считается константой, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль :) Для второго слагаемого работает правило . Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек».

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку» :)

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения преобразований.

Пример 9

Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Самостоятельно. Образец уже близко.

Что дальше? Дальше поднимаем частные производные функции трёх переменных. После чего я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;)) отработать технику дифференцирования на следующих уроках:

И, наконец, обещанная вкусняшка – Производная по направлению и градиент функции.

Стратегия и тактика знакомы – сначала учимся решать, затем вникаем в суть!

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: найдём частные производные первого порядка:

Вычислим их значения в точке :