Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Сложные пределыВ данной статье будут рассмотрены пределы повышенной сложности, и заключительный практикум по теме предназначен, прежде всего, для читателей со средним и высоким уровнем подготовки. Если ваши навыки вычисления пределов невелики или вовсе отсутствуют, пожалуйста, начните с вводного урока Пределы функций. Примеры решений. Многие методы решения пределов, о которых пойдёт речь, уже знакомы и сложность будет состоять преимущественно в технике вычислений. Кроме того, мы рассмотрим примеры с более редкими замечательными пределами, которые до сей поры были обделены моим вниманием. И, наконец, много лет спустя в курсе комплексного анализа я разобрал пределы с гиперболическими функциями (г. синусом, г. косинусом и иже с ними) – разумеется, эти приёмы работают и в нашем, действительном случае.Такие пределы почти не встречаются, но мало ли, вдруг кому потребуется… Пока не знаю, сколько будет примеров, 15, 20 или больше, но в любом случае программа предстоит насыщенная, поэтому сразу приступим к зачистке территории: Пример 1 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя При подстановке «единицы» в выражение под знаком предела, получается неопределённость , которая устраняется стандартным методом: числитель и знаменатель нужно разложить на множители, а затем что-нибудь сократить. Разложить на множители…. Были бы у нас многочлены второй степени – без проблем. Но как раскладывать кубические многочлены? Кратко напомню теоретический материал курса высшей алгебры: Рассмотрим многочлен натуральной степени . Если число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. В результате деления получается многочлен степени , при этом: . Термины точно такие же, как и для чисел: Разделить многочлен на многочлен можно по схеме Горнера, но лично я привык выполнять деление «столбиком» и сейчас мы самым подробным образом разберём этот метод. Однако сразу же оговорюсь, что в использовании схемы Горнера нет ничего предосудительного или нестандартного. Кому как удобнее, кому как понятнее. Начнём оформлять решение и детально разберём техническую сторону вопроса: Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: поскольку число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. Делить будем столбиком. В школе столбиком мы делили числа, и принцип деления многочленов весьма похож. Записываем начальный шаблон: Теперь в углу нужно разоблачить незнакомца : Далее нашего героя нужно умножить на делитель : Проводим отчёркивание и из первой строки почленно вычитаем вторую строку: Сносим сверху следующее слагаемое: Алгоритм идёт на следующий круг. Снова ищем одночлен , он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось : и умножаем на делитель : Сносим сверху последнее слагаемое: Организуем завершающий цикл. Необходимо подобрать третье слагаемое , которое при умножении на «икс» даёт : Уравнению соответствует корень , который записываем справа под чертой: Умножаем на делитель : В итоге получился ноль, и это значит, что все вычисления выполнены правильно. Иными словами, многочлен поделился на без остатка. Таким образом: Желающие могут раскрыть скобки в правой части и убедиться, что получится исходный многочлен . Рассмотренный алгоритм на самом деле не сложен, и рука набивается довольно быстро. Знаменатель. Разборки аналогичны. Так как число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен делится на без остатка: В итоге Открываем решение и записываем всё, что нажито непосильным трудом: Приключения продолжаются – после сокращения неопределённость не устранена. Но уже легче, квадратные трёхчлены можно разложить на множители тривиальным способом, рассмотренным на первом уроке про пределы функций. Тем не менее, в целях закрепления алгоритма продолжим деление. Да простит меня сервак =) Числитель. Поскольку число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен делится на без остатка. Поехали. На первом шаге подбираем ТАКИМ образом, чтобы при его умножении на «икс» получить : Искомое значение : Умножаем на делитель : Из первой строки сносим оставшееся слагаемое: Второе значение при умножении на «икс» должно давать «икс»: Очевидно, что : Умножаем на делитель : В остатке получился ноль, значит, деление выполнено верно. Таким образом: Аналогично расправляемся со знаменателем: То есть Снова открываем решение и получаем окончательный ответ: Выполним проверку. Дважды используем правило Лопиталя: Сравните трудоёмкость двух способов решения. Думаю, теперь вам понятно, почему запрещают применять правило Лопиталя =) Времени и сил на первый пример совсем не жалко, так как надобность делить многочлены время от времени возникает в других задачах, в частности, при нахождении нулей функции, в интегралах от дробно-рациональной функции. Поэтому с энтузиазмом отнесёмся к другим пределам… …они будут ещё длиннее =) Никто не знает, вдруг в жизни пригодится. Хах. Вспомнился заезженный анекдот в тему: если к вам на улице подошли Свидетели Иеговы, перехватите инициативу – начните им рассказывать про тройные интегралы. Пример 2 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Вернёмся к другому известному способу решения пределов, повысив их сложность: Пример 3 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Неопределённость ликвидируется стандартным методом – умножением и делением на сопряженное выражение. Единственное отличие, приём используется два раза: 1) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение ; 2) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение . Далее дважды используется формула . Сама техника решения подробно рассмотрена на уроке Пределы. Примеры решений. Оформляем: Оба вышеуказанных действия выгоднее выполнить «за один присест». Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения: Проверим решение по правилу Лопиталя: Пример 4 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это более сложный пример для самостоятельного решения. Иногда в пределах рассматриваемого типа приходится использовать не только формулу разности квадратов , но и формулу разности кубов: Пример 5 Найти предел Неопределённость устраняется умножением и делением на сопряженное выражение. Аналогичные, но более простые пределы мы рассмотрели в Примерах № 11-13 урока Методы решения пределов. Только здесь работает формула разности кубов: В данном случае . И, согласно формуле, для разности сопряженным выражением будет вот этот вот страх: Умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы использовать формулу : Тоже знакомая картина…. Старшая степень числителя: 2 Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, и сразу можно сказать, что предел равен конечному числу. Разделим числитель и знаменатель на : Готово. Пример 6 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. После умножения/деления на сопряженное выражение и упрощений предел будет сведён к случаю Примеров № 1-3 статьи о бесконечно малых функциях. Полное решение и ответ в конце урока. А сейчас обещанные на уроке Методы решения пределов плюшки на замену переменной. Повышенной сложности: Пример 7 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Аргумент стремится к не самому распространённому числу: , с ходу и не сообразишь, есть здесь вообще неопределённость или нет. Поэтому откроем тригонометрическую таблицу, и выпишем следующие значения: Проверим предел на наличие неопределённости: Проведём предварительный анализ. В пределе находятся тригонометрические функции, и решение, скорее всего, сведётся к первому замечательному пределу. В этой связи напрашивается замена, после которой новая переменная будет стремиться к нулю. Но перед заменой целесообразно провести некоторое упрощение выражения. В пределе есть тангенс, а работать с этой функцией неудобно (как и с котангенсом тоже). Таким образом, сначала лучше свести всё дело к синусам и косинусам. Пример свирепый, поэтому я закомментирую каждый шаг: (1) Используем формулу . Неопределённость никуда не делась, но от тангенса мы избавились, что уже является небольшим достижением Проведем замену переменной: (5) Выполняем подстановку в соответствии с выполненной заменой. (11) Используем формулы половинного угла: . В числителе избавляемся от косинуса, указывая, что . Забавно, что всё обошлось даже без замечательного предела. Не знаю, кто и на каком месте будет рвать себе волосы, но правило Лопиталя даёт ответ фантастически быстро: Пример 8 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. В тригонометрической таблице нет информации об отрицательных значениях угла. Понятие ориентации угла дано в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Наглядная иллюстрация с конкретными примерами также фигурирует при нахождении аргумента комплексного числа. Чтобы воспользоваться таблицей, прибавляем один «оборот»: , то есть и – это один и тот же угол. Таким образом: Как-то незаслуженно оказались забыты степени: Пример 9 Найти предел На повестке дня неопределённость , и решение, очевидно, нужно свести к замечательной формуле . Но в нашем пределе нет единицы, только одинокий косинус. Что делать? Организуем! (1) Приводим основание степени к виду , для этого используем искусственный приём: прибавляем и вычитаем единицу. Таким образом: Очень кстати в одном примере подвернулись сразу оба замечательных предела, и после их повторения во второй части статьи рассмотрим: Замечательные пределы с экспонентой и логарифмомНа практике чаще встречаются пределы и особенно их частные случаи . Предела лично ни разу не видел, а может быть, и видел, да не помню. Иногда перечисленные пределы называют третьим, четвёртым и пятым замечательным пределом, но своё негативное отношение к избыточной нумерации я уже высказал на уроке Правила Лопиталя, поэтому пусть это будут «просто» замечательные пределы без номеров. Пример 10 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Чтобы использовать замечательный предел нужно применить уже знакомый искусственный приём: в знаменателе умножаем и делим на 2: Вот и всё. Напоминаю, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только переменная «икс», но и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю. В рассмотренном примере . Короткий закусочный предел для самостоятельного решения: Пример 11 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Заметьте, что условие задачи не ограничивает нас в выборе действий, примеры можно было решить и через замечательные эквивалентности: Какой способ выбрать? Рекомендую всё-таки решать через замечательные пределы (конечно, если пример не дико сложный) – выглядит солиднее. Существенная особенность пределов состоит в том, что при перестановке числителя и знаменателя результаты тоже «переворачиваются»: Пример 12 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Как говорится, мал пример да заковырист…. Решаем: На первом шаге нужно перейти к новой переменной ТАК, чтобы она стремилась к нулю. Для самостоятельного решения: Пример 13 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Если возникли затруднения на начальном этапе, пожалуйста, вернитесь к Примеру № 9. Разберём напоследок что-нибудь посложнее. Типовой и довольно распространённый предел: Пример 14 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Сначала полное решение, потом комментарии: (1) На первых шагах избавляемся от синуса. Умножим числитель и знаменатель на . Используя правило Лопиталя, выполним проверку: Заключительный пример посвящен раритету . Если его не встречал я, то это не значит, что его не встретите вы. Встретите. Причём, прямо сейчас =) Пример 15 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. Всего примеров получилось таки 15, а не 20, и ваш покорный слуга постарался отобрать самые распространенные вещи. Желающие ознакомиться с другими пределами, могут закачать соответствующий архив решений в банке задач по высшей математике. Однако должен предупредить, будьте осторожнее – некоторые экземпляры не то, чтобы сильно сложные, но точно рождены воспалённым сознанием. Я постарался разобрать тему без навороченных нелепых примеров, поскольку убеждён, что студент должен И приснится вам сегодня правило Лопиталя =) Решения и ответы: Пример 2 Пример 4 Пример 6 Пример 8 Пример 11
Пример 13 Пример 15 Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |