Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Продолжаем рассматривать теорию и практику степенных рядов. Материал несложный, но для его понимания необходимо уже более или менее хорошо ориентировать в теме, и «чайникам» я рекомендую проследовать по ссылке выше. На данный момент Вы должны хорошо понимать, что такое степенной ряд, его интервал и область сходимости, а также уметь решать типовые задачи. Для целей сегодняшнего урока сразу откройте Таблицу разложений функций в степенные ряды. Её лучше сохранить и по возможности распечатать, это удобнее и может потребоваться в оффлайне. ...Есть? Замечательно!

Продолжаем.

Понятие суммы степенного ряда

Начнем подходить к нему с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: .

Далее мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками, и я запишу простейший вариант табличного разложения синуса:

Область сходимости ряда: .

(По какому принципу получены сами табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).

Теперь вспоминаем школьный график синуса :
Разложение синуса в степенной ряд сходится к синусу при любом значении х

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм, где-то это я уже видел… Да, в той самой статье 2011 года, когда был юн, горяч и не рисовал стрелочки :)

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть наш степенной ряд сходится к функции . Используя признак Даламбера (см. статью о степенных рядах), легко проверить, что ряд сходится при любом «икс»: (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если мы возьмём первые три члена ряда и начертим график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд сходится к функции при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:

Область сходимости ряда: .

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена существует и совпадает с графиком арктангенса только на отрезке (т. е. в области сходимости ряда):

Разложение арктангенса и его область сходимости

Вне отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, и о графике речи не идёт вообще, поскольку каждое значение бесконечного многочлена бесконечно .

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:

– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;

– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём. После чего я рекомендую не затягивать и в ближайшие часы-дни (пока свежи воспоминания) потренироваться и в нахождении суммы степенного ряда.

Разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: надстрочный индекс в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

На практике процентах в девяносто пяти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:

Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке : первую производную, вторую производную, третью производную и т. д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

и так далее….

Совершенно очевидно, что .

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. ...Нет, мучаться с нахождением производных не придётся, будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: разложить функцию в ряд по степеням .

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

В данном случае :

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал разбирать простые кадры вроде , или , ибо это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , , соответственно и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

И сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Решение начинаем с таблицы, находим похожее разложение:

Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:

Таким образом, и:

Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .
В данном случае :

Так как квадрат неотрицателен, то при раскрытии модуля знак «минус» просто испаряется:

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. Значения , не входят в область определения функции , но как мы видели в Примере 2, в «проблемной» точке САМ РЯД сходиться может. И поэтому от греха подальше лучше выполнить прямую подстановку концов интервала в найденное разложение. При получаем: – расходящийся гармонический ряд. И он же получается при

Таким образом, область сходимости ряда:

Но так бывает далеко не всегда:

Простейшее разложение из учебника сходится ещё в одной точке: . Здесь значение тоже вне игры, а вот при сумма получившегося знакочередующегося ряда в точности равна .

Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:

– сходится уже на обоих концах интервала: (при подстановках , получаем тот же самый сходящийся ряд ).

Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!

Пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 4

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Напоминаю, что пляска обычно начинается от «главной» функции.

Пример 5

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Здесь разложение не такое сложное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.

Полные решения и ответы в конце урока.

Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её нужно предварительно преобразовать. Каноничный пример: . Перед тем как раскладывать её в ряд, следует понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы: . Решать я этот пример не буду, поскольку он довольно простой, к тому же что-то подобное мы недавно рассмотрели.

Пример 6

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:

Во-первых, вверху должна быть единица, поэтому представляем нашу функцию в виде произведения:
Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки:

и сокращаем на два:

В данном случае , таким образом:

В итоге искомое разложение:

Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и надежным путем – использовать признак Даламбера для полученного степенного ряда , т. е. найти интервал сходимости и т. д. Но можно поступить проще. В таблице указано, что биномиальный ряд сходится при . В данном случае , поэтому:

Умножаем все части неравенства на :
– интервал сходимости полученного ряда.
Что происходит с рядом на концах интервала?

При получаем: – данный ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости, и при – расходится по той же причине.

Таким образом, область сходимости полученного ряда: .

Пример 7

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Указание: предварительно функцию упростить, используя свойство

Это пример для самостоятельного решения.

Разложение в ряд Маклорена используется и в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, есть примеры разложений других функций, которые не вошли в этот урок.

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням , когда

Данное задание является более сложным и встречается значительно реже, но всё-таки 2-3 примера не помешают. Пригодится.

Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву .

В чём сложность разложения функции по степеням при ненулевом значении «а»? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить и вычислять производные. Или не придётся. Но сначала разберём универсальный «классический» метод с производными.

Очень хорошо если вы проработали урок Производные высших порядков, впрочем, я постараюсь максимально подробно закомментировать оставшиеся задачи.

И сразу небольшой Пример 8

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее.
Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:

Готово. Для проверки можно раскрыть скобки:

Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 9

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

Хех, опять предстоит ручная работа….

В данном случае: .

И очевидно, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные:

, , .

Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:

Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , , и у вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:

Осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Теперь нужно найти область сходимости полученного степенного ряда . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Впрочем, из того соображения, что на концах интервала должны сократиться «двойки в степени эн», ответ нетрудно «углядеть» и устно: .

Теперь способ второй. Он основан на замене переменной. Итак, требуется разложить ту же функцию в ряд Тейлора по степеням , и мы проводим замену:

, откуда выражаем – и подставляем в нашу функцию:

при этом общая формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

и появляется возможность воспользоваться теми же табличными разложениями!

Таким образом, наша задача свелась к задаче предыдущего параграфа, представим полученную функцию в виде:
и исполььзуем разложение:
., в данном случае :

, после чего вспоминаем о том, что и записываем искомое разложение:

, и проверочка заодно получилась, кстати.

Возникает вопрос: а зачем тогда возиться с производными? И ответ здесь такой: замена далеко не всегда приводит к желаемому результату, так, например, она совершенно бесполезна в Примере 8, и ещё много для каких функций. Поэтому главным и основополагающим методом следует считать прямое построение ряда через производные.

Заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

В образце приведены оба способа решения.

Как ваш тонус? Я так и знал, что на высоте! – поэтому самое время потренироваться в нахождении сумм степенных рядов по известным разложениям. Кроме того, на следующем уроке много интересной и... неожиданной информации. Только не злоупотребляйте =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: используем разложение:
В данном случае

Область сходимости ряда: .

! Примечание: здесь может сложиться впечатление, что из области сходимости ряда следует исключить точку , которая не входит в область определения функции, однако тут речь идёт об области сходимости ряда. А полученный ряд преспокойно сходится в точке – но не к исходной функции, а к изолированному значению: . Интересно отметить, что здесь функция терпит устранимый разрыв: и сумма степенного ряда непрерывна.

Пример 4. Решение: используем разложение: .
В данном случае :

Конструируем функцию дальше:

Окончательно:

Ряд сходится при

Примечание: в точке ряд сходится не к исходной функции, а к нулю:

Пример 5. Решение: используем частный случай биномиального разложения:

В данном случае .

Таким образом:

Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область сходимости полученного ряда. Есть длинный путь и есть короткий.

Путь короткий: биномиальный ряд сходится при (см. таблицу).
В данном случае :
.

Делим все части неравенства на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:

– интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость нашего ряда на концах найдённого интервала:

при получаем ряд: ,

и на правом конце: .
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Таким образом, область сходимости ряда: .

Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.

Пример 7. Решение: преобразуем функцию:

Используем разложение:

В данном случае .

Таким образом:

Или в свёрнутом виде:
Найдем область сходимости полученного степенного ряда. Согласно таблице, использованное разложение сходится при . В нашем примере , поэтому:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.