Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Ортогональное преобразование квадратичной формыНа этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы. Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах. Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду: , где – собственные числа матрицы (тоже действительные). Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен): Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования. Напоминаю распространённую матричную запись , где: Посмотрим, как работает метод в простейшем случае: Пример 10 Это не опечатка – пример уже десятый! Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования Найти матрицу соответствующего преобразования. Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа: Очевидно, что , таким образом: – квадратичная форма в каноническом виде. Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы : 1) Если , то получаем систему линейных уравнений: Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется): 2) Если , то имеем систему: Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина: Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение: Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину: – координаты на ; Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле. Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице: Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: . Ответ: , Полученный результат можно проверить: 1) непосредственной подстановкой в форму : 2) либо с помощью знакомой формулы: Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей. А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен: Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить . Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка: Пример 11 С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом. Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным). Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет. В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование . Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас. По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: . Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон . Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле . Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат : Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному :) Ответ: Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы. Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование. Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации. Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 12 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования. Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований. После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей: Пример 13 Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод. Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование: Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант: В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам . Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду: Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол : И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе : Ответ: Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов. Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами: Пример 14 – привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы. Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону. Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11. Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых). На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных: Пример 15 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования Найти соответствующее преобразование Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа: Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события: 1-2) Если , то получаем систему: Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец: Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем: Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение: , значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает. Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю: по свойствам скалярного произведения: Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем: С третьим собственным вектором всё прозрачно: 3) Если , то получаем систему: Пусть И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам : Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать: Таким образом, матрица ортогонального преобразования: Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен: Но подставлять всё это в что-то не хочется :) Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором: И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда. В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду: – данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд. Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид: – откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид. Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров. И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно: Пример 16 Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду Не пропускайте, это несколько другой тип ;) Да и вычислений заметно меньше. Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему. Квадратичные формы – держат нас в форме! Решения и ответы: Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа: Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование: 1) Если , то: 2) Если , то: Таким образом, матрица линейного преобразования: Выполним проверку прямой подстановкой в : Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел: Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду: Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование: 1) Если , то: Таким образом, матрица линейного преобразования: И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.) Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению: Ответ: Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа: – форма в каноническом виде. Найдём собственные векторы: 1-2) Если , то получаем систему: 3) Если , то: Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому: Таким образом, матрица ортогонального преобразования: Ответ: Проверим результат прямой подстановкой в форму : Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |