Продолжаем проверять статистические гипотезы – всё новые и новые, новые и новые, до полного насыщения! Исправляя оплошность (запамятовал), хочу порекомендовать эту увлекательную тему в качестве основного или дополнительного материала для вашего научного проекта (курсовика, диплома, диссертации) или прикладного исследования. Причём, самому широкому кругу читателей, в том числе экономистам, социологам, психологам – всем, кто работает со статистическими данными. Здесь и научная новизна, и практическая значимость, и широкий простор для творчества! И несложные вычисления, что немаловажно. ! И сразудисклеймерпредупреждение: в рамках сайта я рассматриваю лишь учебные задачи, поэтому при выборе статических методов для серьёзного научного труда лучше обратиться к другим источникам.
Как вы знаете (а если нет, то ссылка выше), все статистические гипотезы делятся на два вида:
I)Гипотеза о законе распределения статистической совокупности. Этому виду гипотез посвящен следующий урок – Критерий согласия Пирсона.
II) Вторая большая группа гипотез касается числовых характеристик стат. совокупностей, закон распределения которых уже известен:
а) выборки независимы, генеральные совокупности распределены нормально и известны их дисперсии .
Тогда для проверки нулевой гипотезы используют статистический критерий, где – случайные значения выборочных средних
Критическая область однозначно определяется критическим значением, которое отыскивается из соотношения для односторонней области и – для двусторонней, где – выбранный уровень значимости, а – функция Лапласа. Не поленюсь и снова нарисую все три случая, критическая область изображена красным цветом:
Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия:
Если в критическую область НЕ попадает, то гипотезу на уровне значимости принимаем. Если же попадает, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы .
Пример 40
По выборке объема найден средний вес изделий г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема найден средний вес изделий г изделий, изготовленных на втором станке. Известны генеральные дисперсии . Требуется на уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирующей гипотезы . Предполагается, что генеральные совокупности распределены нормально, а выборки независимы.
...я, конечно, не знаю, у каких современных станков могут быть такие конские дисперсии, тут, скорее, речь о двух бабулях, которые пекут одинаковые пирожки дедовским методом :) И нужно выяснить, одинаковый ли у них выхлоп или первая бабушка более щедрая.
Решаем: по условию, известны генеральные дисперсии, поэтому для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних используем критерий .
Для конкурирующей гипотезы строится правостороння критическая область. Критическое значение найдём из соотношения . По условию, :
По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора(Пункт 5*) определяем, что этому значению функции соответствует аргумент . Таким образом, при нулевая гипотеза принимается, а при отвергается:
На чистовике эти чертежи выполнять не обязательно – они нужны, чтобы вы лучше видели ситуацию.
По выборочным данным вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,01 гипотезу отвергаем. Иными словами, выборочные средние статистически значимо отличаются друг от друга, и это отличие вряд ли объяснимо случайными факторами. А объяснимо оно именно различием генеральных средних.
Но это ещё не значит, что нужно покупать пирожки у «иксовой» бабули, они ведь могут оказаться менее вкусными :)
Ответ: на уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу отвергаем.
И еще раз повторим, что это значит. Это значит, что с вероятностью 1% мы совершили ошибку первого рода (отвергли правильную гипотезу).
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 41
Из продукции двух автоматических линий извлечены по 50 гвоздей и вычислены их выборочные средние длины и мм. Нормативная погрешность линий есть нормальная случайная величина с дисперсией . На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве генеральных средних против конкурирующих гипотез: а) , б) .
Краткое решение и ответ в конце урока, особую аккуратность проявите в обозначениях – в аналогичных задачах они бывают разными.
Та же гипотеза, другая ситуация:
б) независимые выборки достаточно большие , генеральные дисперсии неизвестны, причём ген. совокупности могут иметь и другое распределение (не нормальное)
Условие , к слову, желательно и в предыдущем пункте.
В этом случае можно использовать похожий, но приближенный критерий , где – случайные значения выборочных средних, а – соответствующие выборочные дисперсии.
Исправлением дисперсий тут можно пренебречь (т.к. выборки большие), но лично я бы исправил. Впрочем, результаты такой проверки всё равно будут менее «авторитетными».
Ситуация более тяжелая:
в) это малые независимые выборки , ген. совокупности распределены нормально и дисперсии их не известны
В этом случае выборочные дисперсии дают плохую оценку генеральных дисперсий, поэтому критерий предыдущего пункта не годится. Но если предположить или доказать, что генеральные дисперсии одинаковы (хотя и не известны), то для проверки гипотезы можно использовать следующий критерий:
Из двух партий деталей, изготовленных одинаковыми станками, извлечены выборки объемами и деталей. По результатам исследования найдены мм, мм и мм, мм. Предполагая, что погрешность изготовления естьнормальная случайная величина, проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы .
В этом тяжелом случае нам удалось раздобыть всего лишь 10 и 15 гвоздей, но ситуацию спасает то, что станки одинаковые, поэтому можно смело допустить, что их погрешности (ген. дисперсии) одинаковы. Кроме того, можно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, до которой мы ещё доберёмся.
Решение: полагая, что генеральные дисперсии одинаковы, используем критерий .
Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область двусторонняя. Найдём критическое значение. Для уровня значимости и числа степеней свободы по таблицеили с помощью Калькулятора(Пункт 10в) определяем:
При нулевая гипотеза принимается, а вне этого интервала – отвергается:
Вычислим наблюдаемое значение критерия: – полученное значение попало в область принятия гипотезы.
Таким различие выборочных средних статистически не значимо и объяснимо влиянием случайных факторов (погрешностью станков и тем, что в саму выборку попали случайные гвозди).
Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу принимаем.
Задача для самостоятельного решения будет в параграфе Гипотеза о равенстве двух генеральных дисперсий, поскольку для того, чтобы пользоваться равенством ген. дисперсий, строго говоря и по меньшей мере, его нужно ещё проверить статистически.
Здесь рассматриваются выборки одинакового объёма, варианты которых попарно зависимы. Что это значит? Пример: возьмём 50 помидоров и измерим их диаметр линейкой: . Затем в том же порядке – штангенциркулем: . Совершенно понятно, что соответствующие результаты будут хоть чуть-чуть, но различны: , следовательно, выборочные средние – тоже: . И возникает вопрос: значимо или незначимо это отличие?
В случае зависимых выборок гипотеза о равенстве генеральных средних сводится к уже разобранной гипотезе о значении генеральной средней. Представим, что описанные выше попарные опыты проводятся много-много раз. Тогда речь заходит о случайной величине – случайной разнице между случайными значениями выборочных средних. И мы проверяем гипотезу о том, что генеральная средняя (матожидание) этой разницы равна нулю против очевидной альтернативы или либо .
Технику решения рассмотрим на конкретном примере, социологическая задача, и никаких гвоздей:
Пример 43
Физическая подготовка 9 спортсменов была проведена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими: (в 1-й строке число баллов при поступлении, во 2-й – после недели тренировок)
Требуется на уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число баллов распределено нормально.
И предположение это небезосновательно, т. к. человеческие характеристики, как правило, распределены нормально.
Решение: проверим гипотезу о том, что матожидание случайной величины (разницы между случайными средними) равно нулю против конкурирующей гипотезы (т.к. улучшение физической формы выражается бОльшим «игрековым» значением и отрицательной разностью).
Для уровня значимости и найдём критическое значение левосторонней критической области (по нижней строке таблицы или на Калькуляторе- Пункт 10в):
При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем:
Для нахождения наблюдаемого значения критерия нужно рассчитать выборочные характеристики. Вычислим разности между вариантами , их квадраты и суммы:
Вычислим выборочную среднюю разницу:
Таким образом: , поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу .
В данном случае это более удачная формулировка, нежели «гипотезу принимаем».
Таким образом, средняя разница между вариантами (физ. форма до тренировки) и соответствующими вариантами (физ. форма после тренировки) статистически незначима.
Ответ: на уровне значимости 0,05 нет оснований утверждать, что после недельной тренировки физическая форма спортсменов значимо улучшилась.
Продолжаем тему самостоятельно:
Пример 44
Две химические лаборатории исследовали 8 проб на допинг одним и тем же методом. Получены следующие результаты (процент содержания некоторого вещества в соответствующих пробах):
Требуется на уровне значимости 0,05 определить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нормально.
Иными словами, определите, не занесли ли в какую-нибудь лабораторию деньги :)
Гипотеза о генеральной дисперсии нормального распределения
Она по своей сути похожа на гипотезу о генеральной средней: есть основания полагать, что генеральная дисперсия нормальной совокупности равна некоторому значению . По результатам выборки объёма найдена исправленная выборочная дисперсия и возникает вопрос: она значимо отличается от или нет? Таким образом, на уровне значимости требуется проверить гипотезу –о том, что генеральная дисперсия действительно равна своему гипотетическому значению.
Для проверки этой гипотезы используют критерий , где – случайное значение исправленной дисперсии. Данная случайная величина имеет распределение хи-квадрат с количеством степеней свободы и принимает лишь неотрицательные значения.
Критическая область зависит от вида конкурирующей гипотезы, а критические значения можно определить по соответствующей таблице либо с помощью Калькулятора(Пункт 11б).
1) Для гипотезы строится левосторонняя область, критическое значение равно .
2) Для гипотезы строится правосторонняя область, критическое значение равно .
3) И для гипотезы строится двусторонняя критическая область, левая и правая критические точки определяются по формулам ,
Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза на уровне значимости отвергается.
Классическая задача по теме – это задача о точности какого-нибудь прибора, станка или метода измерения:
Пример 45
Допустимая погрешность измерительного прибора по паспорту составляет . В результате 10 измерений найдено фактическое значение погрешности . Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, соответствуют ли экспериментальный результат заявленной точности прибора.
Или, попросту говоря, не лажает ли этот прибор.
Решение: полагая, что погрешность измерений распределена нормально, проверим гипотезу о том, что генеральная дисперсия действительно равна против конкурирующей гипотезы . Это, кстати, самый популярный вид альтернативной гипотезы – когда есть превышение нормы, и требуется проверить, случайно оно или нет.
Используем критерий , где – случайное значение исправленной дисперсии.
При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается:
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу . Таким образом, выборочный более высокий результат с большой вероятностью обусловлен случайностью.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что значения 5 и 6,2 различаются существенно, но это иллюзия – ведь дисперсия имеет квадратичную размерность, и стандартные отклонения действительно довольно близкИ друг к другу: .
Ответ: на уровне значимости 0,05 точность прибора соответствует норме.
Самостоятельно:
Пример 46
Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема , оказалась равной . Можно ли принять партию на уровне значимости 0,05?
Таблица здесь не годится, поэтому пользуемся Калькулятором(Пункт 11б). За неимением Экселя используйте приближенную формулу Уилсона-Гильферти: , где отыскивается из соотношения .
Сейчас для интереса проверил – погрешность составила всего одну сотую!
Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных распределений
Две средние мы уже сравнивали, очередь за дисперсиями. Из двух нормальных ген. совокупностей извлечены независимые выборки объёмом и и найдены их исправленные дисперсии: и соответственно. Совершенно понятно, что эти значения случайны и отличны друг от друга. Но возникает вопрос: значимо или незначимо это отличие? Для ответа на этот вопрос на уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий . Если она будет принята, то различие между выборочными значениями объяснимо случайными факторами.
Для проверки этой гипотезы используют критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – мЕньшая.
Данная случайная величина имеет распределение Фишера-Снедекора (так называемое F-распределение) со степенями свободы , если или, если . То есть,степень свободы соответствует выборке с бОльшей исправленной дисперсией.
В качестве альтернативы рассматривают одну из следующих гипотез:
1)(если )либо (если ). Для этой гипотезы строят правостороннюю критическую область:
Критическое значение можно найти по таблице критических значений F-распределения, а ещё лучше – с помощью стандартной функции Экселя, используйте тот же Калькулятор(Пункт 12).
2) – для этой гипотезы строится двусторонняя критическая область:
Однако для решения нашей задачи достаточно найти лишь правое критическое значение .
Дело в том, что , и поэтому случайное значение (бОльшее единицы) заведомо не может попасть в левый кусок критической области.
Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия , и если оно попадает в критическую область ( для обоих случаев), то гипотеза отвергается. Если , то принимается.
Рассматриваемая гипотеза часто возникает, когда требуется сравнить точность двух приборов, инструментов, станков, двух методов исследования. И сейчас мы разберём эту стандартную задачу:
Пример 47
Некоторая физическая величина измерена и раз двумя различными способами. По результатам измерений найдены соответствующие погрешности . Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, одинаковую ли точность обеспечивают эти способы измерений.
Ситуации тут могут быть разные: это измерение двумя однотипными инструментами (например, двумя линейками), или инструментами разными (например, линейкой и штангенциркулем), или речь вообще идёт о двух методах измерения (например, с зажмуренным левым и правым глазом).
И возникает вопрос: различие между случайно или обусловлено тем, что какой-то способ точнее?
Решение: полагая, что погрешности измерений распределены нормально, проверим гипотезу о том, что точность двух способов одинакова против конкурирующей гипотезы (она правдоподобнее, нежели ).
Для проверки гипотезы используем критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – мЕньшая.
Найдём критическое значение . Степень свободы должна соответствовать выборке с бОльшей дисперсией, следовательно, и . По соответствующей таблице либо с помощью Калькулятора(Пункт 12) находим:
При нулевая гипотеза принимается, а при (в критической области) – отвергается.
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу . Иными словами, различие выборочных значений обусловлено случайными факторами, но прежде всего, малым количеством опытов.
Так, если бы было проведено в 10 раз больше измерений и получены те же самые погрешности, то , и гипотеза о равенстве ген. дисперсий уже отвергается. То есть здесь расхождение между уже нельзя объяснить случайностью, а объяснимо оно именно тем, что второй способ менее точный (справедлива гипотеза ).
Ответ: на уровне значимости 0,05 точность способов измерения одинакова.
Творческая задача для самостоятельного решения, случай из жизни:
Пример 48
Две группы студентов-первокурсников написали контрольную по математическому анализу со следующими результатами:
Предполагая, что успеваемость студентов распределена нормально, на уровне значимости 0,1:
1) Проверить гипотезу –о том, что группы однородны по составу (в плане соотношения лучше и хуже успевающих студентов) против конкурирующей гипотезы ,
Ну что, порешаем ещё задачки? …конечно, порешаем! – ведь я маньяк в лучшем смысле этого слова:
Гипотеза о вероятности события
Пусть в достаточно большом количестве независимых испытаний некоторое случайное событие появилось раз, и есть основание полагать, что вероятность появления этого события (в каждом испытании) равна некоторому значению . Возникает вопрос: значимо или незначимо отличается относительная частота от этого гипотетического значения?
Для проверки гипотезы используют критерий , где , а – случайное количество испытаний, в которых событие появилось. При этом для качественного результата должно выполняться неравенство .
Далее технически всё похоже на гипотезу о генеральной средней. Для конкурирующей гипотезы строится левосторонняя критическая область, для –правосторонняя и для – двусторонняя:
Критическое значение отыскивается из соотношения для односторонней области и – для двусторонней, где – выбранный уровень значимости, а – функция Лапласа.
Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза отвергается.
Пример 49
В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство , равна 0,8. Новое лекарство назначено 800 больным, причём 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства на пятипроцентном уровне значимости?
Итак, в результате использования нового лекарство получена относительная частота полного выздоровления и возникает вопрос: этот результат случаен или лекарство действительно эффективнее? Проясним эту ситуацию статистическим методом:
Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, что новое лекарство имеет такую же эффективность против конкурирующей гипотезы , что оно более эффективно. Используем критерий , где – случайное количество пациентов из , которые полностью выздоровеют.
Критическое значение правосторонней критической области найдём из соотношения , в данном случае
При нулевая гипотеза принимает, а при – отвергается:
Вычислим и наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы . Таким образом, выборочный результат вряд ли объясним случайностью.
Ответ: на пятипроцентном уровне значимости новое лекарство эффективнее лекарства .
Самостоятельно:
Пример 50
Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 98 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы значимо эффективнее?
Примите уровень значимости и проверьте это предположение.
И заключительный параграф этой интереснейшей статьи:
Сравнение вероятностей двух биномиальных распределений
На самом деле о вероятности биномиального распределения речь уже шла в предыдущей гипотезе, и теперь перед нами стоит задача сравнить вероятности двух биномиальных распределений.
Пусть в двух генеральных совокупностях проводятся независимые испытания, в каждом из которых событие может появиться – с неизвестной вероятностью в первой совокупности и с неизвестной вероятностью – во второй. По выборочным сериям испытаний объёмами и найдены соответствующие относительные частоты: , где – фактическое число появлений события в 1-й и во 2-й выборке.
Требуется оценить, значимо или незначимо отличаются друг от друга относительные частоты. Незначимое отличие объяснимо случайными факторами и справедливостью гипотезы .
Для проверки этой гипотезы используют критерий: , где – случайное количество появлений события в 1-й и во 2-й выборке соответственно.
В качестве альтернативы рассматривают гипотезу либо. Критические области строятся точно так же, как и в предыдущем пункте! Кстати, почему здесь можно использовать лапласовские соотношения? А дело в том (кто помнит), что при достаточно большой выборке биномиальное распределение близкО к нормальному.
Возвращаемся к нашим помидорам:
Пример 51
От двух поставщиков в магазин поступило и однотипных изделий. В первой партии оказалось бракованных изделий, а во второй – . Требуется на уровне значимости 0,05 оценить, одинаково ли хороши поставщики.
Очевидно, что здесь существуют вполне конкретные вероятности – того, что магазин получит бракованное изделие от 1-го и 2-го поставщика соответственно. И эти вероятности нам не известны. Однако в нашем распоряжении есть выборочные данные – относительные частоты:
И возникает вопрос: эта разница случайна или нет?
Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, что поставщики равноценны против конкурирующей гипотезы .
Критическое значение двусторонней критической области найдём из соотношения . В данном случае:
По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора(Пункт 5*) определяем . При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается:
Вычислим наблюдаемое значение критерия: – полученное значение попало в область принятия гипотезы , таким образом, различие относительных частот , скорее всего, случайно.
Ответ: на уровне значимости 0,05 нет оснований отдавать предпочтение какому-то одному из поставщиков
Как говорится, что там помидоры, что там.
И почётное право завершить этот урок предоставляется героям, которые помогали нам на протяжении всегокурса тервера, ну а может и некоторые читатели уже взялись за оружие:))
Пример 52
Два стрелка совершили по 50 выстрелов в цель. Первый стрелок поразил цель 41 раз, а второй – 36. Можно ли на уровне значимости 0,1 утверждать, что первый стрелок более меткий?
Пример 41. Решение: по условию, известны генеральные дисперсии, поэтому для проверки гипотезы используем критерий . а) Для гипотезы строим левостороннюю критическую область. Критическое значение найдём из соотношения . Для уровня значимости : По таблице значений функции Лапласа определяем . Таким образом, при нулевую гипотезу принимаем, а при (в критической области) – отвергаем: Вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.
б) Для гипотезы строим двустороннюю критическую область: Критическое значение найдём из соотношения :
Наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы , поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.
Ответ: в обоих случаях гипотезу принимаем.
Напоминаю, что это не 100%-ное доказательство гипотезы, т.к. существует -вероятность того, что мы приняли неверную гипотезу (совершили ошибку второго рода).
Пример 44. Решение: рассмотрим случайную величину , где – случайные значения выборочных средних, и проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Поскольку генеральная дисперсия этой случайной величины не известна, то используем критерий , распределённый по закону Стьюдента с количеством степеней свободы .
Для уровня значимости и по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение для двусторонней критической области:
Таким образом, при нулевую гипотезу принимаем, и вне этого интервала (в критической области) отвергаем: Найдём наблюдаемое значение критерия. Для этого нужно вычислить выборочную среднюю разницу между выборочными средними и и соответствующую дисперсию . Заполним расчётную таблицу: Таким образом:
Наблюдаемое значение критерия: – полученное значение попало в критическую область, поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем.
Ответ: на уровне значимости 0,05 результаты лабораторий отличны друг от друга.
Пример 46. Решение: полагая, что погрешности размера выпускаемых изделий распределены нормально, проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Используем критерий .
Так как в конкурирующей гипотезе речь идёт о бОльших значениях дисперсии, то критическая область будет правосторонней. Найдём критическое значение. Для уровня значимости и количества степеней свободы с помощью MS Excel находим критическое значение:
При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается.
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем.
Иными словами, выборочный результат статистически значимо отличается от нормативного значения 0,2, и оборудование, на котором производятся изделия, нуждается в регулировке. Скорее всего.
Ответ: на уровне значимости 0,05 партию изделий принять нельзя.
Пример 48. Решение: Заполним расчётную таблицу:
Вычислим выборочные характеристики. Средний балл: Выборочные дисперсии: Исправленные дисперсии:
1) На уровне значимости 0,1 проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Используем критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – меньшая.
Найдём правое критическое значение двусторонней критической области. Для уровня значимости и числа степеней свободы с помощью MS Excel находим:
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,1 гипотезу принимаем. Таким образом, группы однородны (в плане соотношения лучше и хуже успевающих студентов).
Замечание: здесь, конечно, речь идёт не о строгом, а о примерном равенстве генеральных дисперсий.
2) На уровне значимости 0,1 проверим гипотезу против гипотезы о том, что 1-я группа учится слабее. Исследуемые совокупности достаточно малы и их генеральные дисперсии неизвестны, но в предыдущем пункте статистически обосновано незначимое различие ген. дисперсий. Поэтому для проверки гипотезы можно использовать критерий , где – случайные значения выборочных средних, а – соответствующие исправленные выборочныедисперсии.
Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область будет левосторонней. Для уровня значимости и числа степеней свободы найдём критическое значение односторонней области: (Калькулятор - Пункт 10в)
При нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергать гипотезу .
Таким образом, по результатам контрольной работы нельзя утверждать, что различие между средними оценками обусловлено тем, что 1-я группа более слабая. Для проверки этого предположения требуется дальнейший мониторинг за успеваемостью.
Ответ: на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергнуть нулевые гипотезы.
Пример 50. Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, новая рекламная кампания имеет такую же эффективность против конкурирующей гипотезы . Используем критерий , где , а – случайное кол-во заказов, которое может поступить в результате рассылки 1000 новых каталогов.
Найдём критическое значение правосторонней критической области: , по таблице значений функции Лапласа определяем . При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем.
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , поэтому на уровне значимости гипотезу отвергаем.
Ответ: на уровне значимости 0,05 новая форма рекламы значимо эффективнее.
Пример 52. Решение: на уровне значимости проверим гипотезу против гипотезы о том, что 1-й стрелок стреляет точнее.
Найдём критическое значение правосторонней критической области: При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем.
Вычислим наблюдаемое значение критерия: , следовательно, на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергать гипотезу .
Ответ: на уровне значимости 0,1 нет оснований считать, что 1-й стрелок более меткий.