12. Проверка статистических гипотез

Продолжаем проверять статистические гипотезы – всё новые и новые, новые и новые, до полного насыщения! Исправляя оплошность (запамятовал), хочу порекомендовать эту увлекательную тему в качестве основного или дополнительного материала для вашего научного проекта (курсовика, диплома, диссертации) или прикладного исследования. Причём, самому широкому кругу читателей, в том числе экономистам, социологам, психологам – всем, кто работает со статистическими данными. Здесь и научная новизна, и практическая значимость, и широкий простор для творчества! И несложные вычисления, что немаловажно. ! И сразу ~~дисклеймер~~ предупреждение: в рамках сайта я рассматриваю лишь учебные задачи, поэтому при выборе статических методов для серьёзного научного труда лучше обратиться к другим источникам.

Как вы знаете (а если нет, то ссылка выше), все статистические гипотезы делятся на два вида:

I) Гипотеза о законе распределения статистической совокупности. Этому виду гипотез посвящен следующий урок – Критерий согласия Пирсона.

II) Вторая большая группа гипотез касается числовых характеристик стат. совокупностей, закон распределения которых уже известен:

– Гипотеза о генеральной средней нормального распределения – именно с неё мы и начали разминку;

– Гипотеза о равенстве генеральных средних двух распределений – 4 случая, все разберём!

– Гипотеза о генеральной дисперсии нормального распределения;

– Гипотеза о равенстве ген. дисперсий двух нормальных распределений;

– Гипотеза о вероятности события;

– Сравнение вероятностей двух биномиальных распределений.

Существуют и другие статистические гипотезы, с которыми можно ознакомиться, например, в учебном пособии В. Е. Гмурмана (поздние издания). Кроме того, в курсе корреляционно-регрессионного анализа я рассмотрю статистические гипотезы о значимости линейного коэффициента корреляции, коэффициентов уравнения регрессии и самого уравнения (коэффициента детерминации).

Вникаем, решаем и получаем удовольствие!

Гипотеза о равенстве генеральных средних двух распределений

Постановка задачи: из двух генеральных совокупностей извлечены выборки объёмов и и найдены их выборочные средние: и соответственно. Требуется на уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральных средних против одной из следующих конкурирующих гипотез: , или . Как и в гипотезе о значении генеральной средней, в первом случае строится левосторонняя критическая область, во втором – правосторонняя и в третьем – двусторонняя.

При этом возможны следующие вариации задачи:

а) выборки независимы, генеральные совокупности распределены нормально и известны их дисперсии .

Тогда для проверки нулевой гипотезы используют статистический критерий , где – случайные значения выборочных средних

Критическая область однозначно определяется критическим значением , которое отыскивается из соотношения для односторонней области и – для двусторонней, где – выбранный уровень значимости, а – функция Лапласа. Не поленюсь и снова нарисую все три случая, критическая область изображена красным цветом:

Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия:

Если в критическую область НЕ попадает, то гипотезу на уровне значимости принимаем. Если же попадает, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы .

Пример 40

По выборке объема найден средний вес изделий г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема найден средний вес изделий г изделий, изготовленных на втором станке. Известны генеральные дисперсии . Требуется на уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирующей гипотезы . Предполагается, что генеральные совокупности распределены нормально, а выборки независимы.

...я, конечно, не знаю, у каких современных станков могут быть такие конские дисперсии, тут, скорее, речь о двух бабулях, которые пекут одинаковые пирожки дедовским методом :) И нужно выяснить, одинаковый ли у них выхлоп или первая бабушка более щедрая.

Решаем: по условию, известны генеральные дисперсии, поэтому для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних используем критерий .
Для конкурирующей гипотезы строится правостороння критическая область. Критическое значение найдём из соотношения . По условию, :

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора (Пункт 5*) определяем, что этому значению функции соответствует аргумент . Таким образом, при нулевая гипотеза принимается, а при отвергается:

На чистовике эти чертежи выполнять не обязательно – они нужны, чтобы вы лучше видели ситуацию.

По выборочным данным вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости 0,01 гипотезу отвергаем. Иными словами, выборочные средние статистически значимо отличаются друг от друга, и это отличие вряд ли объяснимо случайными факторами. А объяснимо оно именно различием генеральных средних.

Но это ещё не значит, что нужно покупать пирожки у «иксовой» бабули, они ведь могут оказаться менее вкусными :)

Ответ: на уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу отвергаем.

И еще раз повторим, что это значит. Это значит, что с вероятностью 1% мы совершили ошибку первого рода (отвергли правильную гипотезу).

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 41

Из продукции двух автоматических линий извлечены по 50 гвоздей и вычислены их выборочные средние длины и мм. Нормативная погрешность линий есть нормальная случайная величина с дисперсией . На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве генеральных средних против конкурирующих гипотез: а) , б) .

Краткое решение и ответ в конце урока, особую аккуратность проявите в обозначениях – в аналогичных задачах они бывают разными.

Та же гипотеза, другая ситуация:

б) независимые выборки достаточно большие , генеральные дисперсии неизвестны, причём ген. совокупности могут иметь и другое распределение (не нормальное)

Условие , к слову, желательно и в предыдущем пункте.

В этом случае можно использовать похожий, но приближенный критерий , где – случайные значения выборочных средних, а – соответствующие выборочные дисперсии.

Исправлением дисперсий тут можно пренебречь (т.к. выборки большие), но лично я бы исправил. Впрочем, результаты такой проверки всё равно будут менее «авторитетными».

Ситуация более тяжелая:

в) это малые независимые выборки , ген. совокупности распределены нормально и дисперсии их не известны

В этом случае выборочные дисперсии дают плохую оценку генеральных дисперсий, поэтому критерий предыдущего пункта не годится. Но если предположить или доказать, что генеральные дисперсии одинаковы (хотя и не известны), то для проверки гипотезы можно использовать следующий критерий:

, где – случайные значения выборочных средних, а – соответствующие исправленные выборочные дисперсии. Эта случайная величина распределена по закону Стьюдента с степенями свободы.

Пример 42

Из двух партий деталей, изготовленных одинаковыми станками, извлечены выборки объемами и деталей. По результатам исследования найдены мм, мм и мм, мм. Предполагая, что погрешность изготовления есть нормальная случайная величина, проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы .

В этом тяжелом случае нам удалось раздобыть всего лишь 10 и 15 гвоздей, но ситуацию спасает то, что станки одинаковые, поэтому можно смело допустить, что их погрешности (ген. дисперсии) одинаковы. Кроме того, можно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, до которой мы ещё доберёмся.

Решение: полагая, что генеральные дисперсии одинаковы, используем критерий .

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область двусторонняя. Найдём критическое значение. Для уровня значимости и числа степеней свободы по таблице или с помощью Калькулятора (Пункт 10в) определяем:

При нулевая гипотеза принимается, а вне этого интервала – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

– полученное значение попало в область принятия гипотезы.

Таким различие выборочных средних статистически не значимо и объяснимо влиянием случайных факторов (погрешностью станков и тем, что в саму выборку попали случайные гвозди).

Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу принимаем.

Задача для самостоятельного решения будет в параграфе Гипотеза о равенстве двух генеральных дисперсий, поскольку для того, чтобы пользоваться равенством ген. дисперсий, строго говоря и по меньшей мере, его нужно ещё проверить статистически.

И ещё один случай:

г) ген. совокупности распределены нормально, ген. дисперсии неизвестны, выборки зависимы

Здесь рассматриваются выборки одинакового объёма, варианты которых попарно зависимы. Что это значит? Пример: возьмём 50 помидоров и измерим их диаметр линейкой: . Затем в том же порядке – штангенциркулем: . Совершенно понятно, что соответствующие результаты будут хоть чуть-чуть, но различны: , следовательно, выборочные средние – тоже: . И возникает вопрос: значимо или незначимо это отличие?

В случае зависимых выборок гипотеза о равенстве генеральных средних сводится к уже разобранной гипотезе о значении генеральной средней. Представим, что описанные выше попарные опыты проводятся много-много раз. Тогда речь заходит о случайной величине – случайной разнице между случайными значениями выборочных средних. И мы проверяем гипотезу о том, что генеральная средняя (матожидание) этой разницы равна нулю против очевидной альтернативы или либо .

Технику решения рассмотрим на конкретном примере, социологическая задача, и никаких гвоздей:

Пример 43

Физическая подготовка 9 спортсменов была проведена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими:

(в 1-й строке число баллов при поступлении, во 2-й – после недели тренировок)

Требуется на уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число баллов распределено нормально.

И предположение это небезосновательно, т. к. человеческие характеристики, как правило, распределены нормально.

Решение: проверим гипотезу о том, что матожидание случайной величины (разницы между случайными средними) равно нулю против конкурирующей гипотезы (т.к. улучшение физической формы выражается бОльшим «игрековым» значением и отрицательной разностью).

Так как генеральная дисперсия этой случайной величины не известна, то используем знакомый критерий , где – случайная разница между выборочными средними и – соответствующее исправленное стандартное отклонение. Напоминаю, что этот критерий имеет распределение Стьюдента с количеством степеней свободы .

Для уровня значимости и найдём критическое значение левосторонней критической области (по нижней строке таблицы или на Калькуляторе - Пункт 10в):

При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем:

Для нахождения наблюдаемого значения критерия нужно рассчитать выборочные характеристики. Вычислим разности между вариантами , их квадраты и суммы:

Вычислим выборочную среднюю разницу:

Вычислим исправленное стандартное отклонение, не сторонник я «ускоренных» формул, но здесь она удобна:

Таким образом:
, поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу .

В данном случае это более удачная формулировка, нежели «гипотезу принимаем».

Таким образом, средняя разница между вариантами (физ. форма до тренировки) и соответствующими вариантами (физ. форма после тренировки) статистически незначима.

Ответ: на уровне значимости 0,05 нет оснований утверждать, что после недельной тренировки физическая форма спортсменов значимо улучшилась.

Продолжаем тему самостоятельно:

Пример 44

Две химические лаборатории исследовали 8 проб на допинг одним и тем же методом. Получены следующие результаты (процент содержания некоторого вещества в соответствующих пробах):

Требуется на уровне значимости 0,05 определить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нормально.

Иными словами, определите, не занесли ли в какую-нибудь лабораторию деньги :)

Как обычно, все числа уже в Экселе; продублирую также ссылки на таблицу критических точек распределению Стьюдента и Калькулятор (Пункт 10в).

С другими гипотезами всё проще:

Гипотеза о генеральной дисперсии нормального распределения

Она по своей сути похожа на гипотезу о генеральной средней: есть основания полагать, что генеральная дисперсия нормальной совокупности равна некоторому значению . По результатам выборки объёма найдена исправленная выборочная дисперсия и возникает вопрос: она значимо отличается от или нет? Таким образом, на уровне значимости требуется проверить гипотезу – о том, что генеральная дисперсия действительно равна своему гипотетическому значению.

Для проверки этой гипотезы используют критерий , где – случайное значение исправленной дисперсии. Данная случайная величина имеет распределение хи-квадрат с количеством степеней свободы и принимает лишь неотрицательные значения.

Критическая область зависит от вида конкурирующей гипотезы, а критические значения можно определить по соответствующей таблице либо с помощью Калькулятора (Пункт 11б).

1) Для гипотезы строится левосторонняя область, критическое значение равно .

2) Для гипотезы строится правосторонняя область, критическое значение равно .

3) И для гипотезы строится двусторонняя критическая область, левая и правая критические точки определяются по формулам ,

Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза на уровне значимости отвергается.

Классическая задача по теме – это задача о точности какого-нибудь прибора, станка или метода измерения:

Пример 45

Допустимая погрешность измерительного прибора по паспорту составляет . В результате 10 измерений найдено фактическое значение погрешности . Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, соответствуют ли экспериментальный результат заявленной точности прибора.

Или, попросту говоря, не лажает ли этот прибор.

Решение: полагая, что погрешность измерений распределена нормально, проверим гипотезу о том, что генеральная дисперсия действительно равна против конкурирующей гипотезы . Это, кстати, самый популярный вид альтернативной гипотезы – когда есть превышение нормы, и требуется проверить, случайно оно или нет.

Используем критерий , где – случайное значение исправленной дисперсии.

Найдём правостороннюю критическую область. Для уровня значимости и количества степеней свободы по таблице критических точек распределения хи-квадрат или с помощью Калькулятора (Пункт 11б) определяем критическое значение:

При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу . Таким образом, выборочный более высокий результат с большой вероятностью обусловлен случайностью.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что значения 5 и 6,2 различаются существенно, но это иллюзия – ведь дисперсия имеет квадратичную размерность, и стандартные отклонения действительно довольно близкИ друг к другу: .

Ответ: на уровне значимости 0,05 точность прибора соответствует норме.

Самостоятельно:

Пример 46

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема , оказалась равной . Можно ли принять партию на уровне значимости 0,05?

Таблица здесь не годится, поэтому пользуемся Калькулятором (Пункт 11б). За неимением Экселя используйте приближенную формулу Уилсона-Гильферти:
, где отыскивается из соотношения .
Сейчас для интереса проверил – погрешность составила всего одну сотую!

Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных распределений

Две средние мы уже сравнивали, очередь за дисперсиями. Из двух нормальных ген. совокупностей извлечены независимые выборки объёмом и и найдены их исправленные дисперсии: и соответственно. Совершенно понятно, что эти значения случайны и отличны друг от друга. Но возникает вопрос: значимо или незначимо это отличие? Для ответа на этот вопрос на уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий . Если она будет принята, то различие между выборочными значениями объяснимо случайными факторами.

Для проверки этой гипотезы используют критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – мЕньшая.

Данная случайная величина имеет распределение Фишера-Снедекора (так называемое F-распределение) со степенями свободы , если или , если . То есть, степень свободы соответствует выборке с бОльшей исправленной дисперсией.

В качестве альтернативы рассматривают одну из следующих гипотез:

1) (если ) либо (если ). Для этой гипотезы строят правостороннюю критическую область:

Критическое значение можно найти по таблице критических значений F-распределения, а ещё лучше – с помощью стандартной функции Экселя, используйте тот же Калькулятор (Пункт 12).

2) – для этой гипотезы строится двусторонняя критическая область:

Однако для решения нашей задачи достаточно найти лишь правое критическое значение .

Дело в том, что , и поэтому случайное значение (бОльшее единицы) заведомо не может попасть в левый кусок критической области.

Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия , и если оно попадает в критическую область ( для обоих случаев), то гипотеза отвергается. Если , то принимается.

Рассматриваемая гипотеза часто возникает, когда требуется сравнить точность двух приборов, инструментов, станков, двух методов исследования. И сейчас мы разберём эту стандартную задачу:

Пример 47

Некоторая физическая величина измерена и раз двумя различными способами. По результатам измерений найдены соответствующие погрешности . Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, одинаковую ли точность обеспечивают эти способы измерений.

Ситуации тут могут быть разные: это измерение двумя однотипными инструментами (например, двумя линейками), или инструментами разными (например, линейкой и штангенциркулем), или речь вообще идёт о двух методах измерения (например, с зажмуренным левым и правым глазом).

И возникает вопрос: различие между случайно или обусловлено тем, что какой-то способ точнее?

Решение: полагая, что погрешности измерений распределены нормально, проверим гипотезу о том, что точность двух способов одинакова против конкурирующей гипотезы (она правдоподобнее, нежели ).

Для проверки гипотезы используем критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – мЕньшая.

Найдём критическое значение . Степень свободы должна соответствовать выборке с бОльшей дисперсией, следовательно, и . По соответствующей таблице либо с помощью Калькулятора (Пункт 12) находим:

При нулевая гипотеза принимается, а при (в критической области) – отвергается.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу . Иными словами, различие выборочных значений обусловлено случайными факторами, но прежде всего, малым количеством опытов.

Так, если бы было проведено в 10 раз больше измерений и получены те же самые погрешности, то , и гипотеза о равенстве ген. дисперсий уже отвергается. То есть здесь расхождение между уже нельзя объяснить случайностью, а объяснимо оно именно тем, что второй способ менее точный (справедлива гипотеза ).

Ответ: на уровне значимости 0,05 точность способов измерения одинакова.

Творческая задача для самостоятельного решения, случай из жизни:

Пример 48

Две группы студентов-первокурсников написали контрольную по математическому анализу со следующими результатами:

Предполагая, что успеваемость студентов распределена нормально, на уровне значимости 0,1:

1) Проверить гипотезу – о том, что группы однородны по составу (в плане соотношения лучше и хуже успевающих студентов) против конкурирующей гипотезы ,

и в случае однородности групп обещанный пунктик:

2) Проверить гипотезу – об одинаковой успеваемости групп против гипотезы о том, что одна из групп более слабая.

Вспоминаем, что такое дискретный вариационный ряд и как рассчитываются его характеристики. Не позволяй душе лениться! – в жизни пригодится, все числа уже в Экселе.

Ну что, порешаем ещё задачки? …конечно, порешаем! – ведь я маньяк в лучшем смысле этого слова:

Гипотеза о вероятности события

Пусть в достаточно большом количестве независимых испытаний некоторое случайное событие появилось раз, и есть основание полагать, что вероятность появления этого события (в каждом испытании) равна некоторому значению . Возникает вопрос: значимо или незначимо отличается относительная частота от этого гипотетического значения?
Для проверки гипотезы используют критерий , где , а – случайное количество испытаний, в которых событие появилось. При этом для качественного результата должно выполняться неравенство .

Далее технически всё похоже на гипотезу о генеральной средней. Для конкурирующей гипотезы строится левосторонняя критическая область, для – правосторонняя и для – двусторонняя:

Критическое значение отыскивается из соотношения для односторонней области и – для двусторонней, где – выбранный уровень значимости, а – функция Лапласа.
Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза отвергается.

Пример 49

В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство , равна 0,8. Новое лекарство назначено 800 больным, причём 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства на пятипроцентном уровне значимости?

Итак, в результате использования нового лекарство получена относительная частота полного выздоровления и возникает вопрос: этот результат случаен или лекарство действительно эффективнее? Проясним эту ситуацию статистическим методом:

Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, что новое лекарство имеет такую же эффективность против конкурирующей гипотезы , что оно более эффективно. Используем критерий , где – случайное количество пациентов из , которые полностью выздоровеют.

Критическое значение правосторонней критической области найдём из соотношения , в данном случае

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора (Пункт 5*), определяем, что этому значению функции соответствует аргумент .

При нулевая гипотеза принимает, а при – отвергается:

Вычислим и наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы . Таким образом, выборочный результат вряд ли объясним случайностью.

Ответ: на пятипроцентном уровне значимости новое лекарство эффективнее лекарства .

Самостоятельно:

Пример 50

Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 98 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы значимо эффективнее?

Примите уровень значимости и проверьте это предположение.

И заключительный параграф этой интереснейшей статьи:

Сравнение вероятностей двух биномиальных распределений

На самом деле о вероятности биномиального распределения речь уже шла в предыдущей гипотезе, и теперь перед нами стоит задача сравнить вероятности двух биномиальных распределений.

Пусть в двух генеральных совокупностях проводятся независимые испытания, в каждом из которых событие может появиться – с неизвестной вероятностью в первой совокупности и с неизвестной вероятностью – во второй. По выборочным сериям испытаний объёмами и найдены соответствующие относительные частоты:
, где – фактическое число появлений события в 1-й и во 2-й выборке.

Требуется оценить, значимо или незначимо отличаются друг от друга относительные частоты. Незначимое отличие объяснимо случайными факторами и справедливостью гипотезы .

Для проверки этой гипотезы используют критерий:
, где – случайное количество появлений события в 1-й и во 2-й выборке соответственно.

В качестве альтернативы рассматривают гипотезу либо . Критические области строятся точно так же, как и в предыдущем пункте! Кстати, почему здесь можно использовать лапласовские соотношения? А дело в том (кто помнит), что при достаточно большой выборке биномиальное распределение близкО к нормальному.

Возвращаемся к нашим помидорам:

Пример 51

От двух поставщиков в магазин поступило и однотипных изделий. В первой партии оказалось бракованных изделий, а во второй – . Требуется на уровне значимости 0,05 оценить, одинаково ли хороши поставщики.

Очевидно, что здесь существуют вполне конкретные вероятности – того, что магазин получит бракованное изделие от 1-го и 2-го поставщика соответственно. И эти вероятности нам не известны. Однако в нашем распоряжении есть выборочные данные – относительные частоты:

И возникает вопрос: эта разница случайна или нет?

Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, что поставщики равноценны против конкурирующей гипотезы .

Критическое значение двусторонней критической области найдём из соотношения . В данном случае:

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора (Пункт 5*) определяем . При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

– полученное значение попало в область принятия гипотезы , таким образом, различие относительных частот , скорее всего, случайно.

Ответ: на уровне значимости 0,05 нет оснований отдавать предпочтение какому-то одному из поставщиков

Как говорится, что там помидоры, что там.

И почётное право завершить этот урок предоставляется героям, которые помогали нам на протяжении всего курса тервера, ну а может и некоторые читатели уже взялись за оружие:))

Пример 52

Два стрелка совершили по 50 выстрелов в цель. Первый стрелок поразил цель 41 раз, а второй – 36. Можно ли на уровне значимости 0,1 утверждать, что первый стрелок более меткий?

Решение и ответ совсем близко.

Но и это ещё не всё! На очереди важнейшая и очень распространённая гипотеза о законе распределения генеральной совокупности.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 41. Решение: по условию, известны генеральные дисперсии, поэтому для проверки гипотезы используем критерий .
а) Для гипотезы строим левостороннюю критическую область. Критическое значение найдём из соотношения . Для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа определяем . Таким образом, при нулевую гипотезу принимаем, а при (в критической области) – отвергаем:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.

б) Для гипотезы строим двустороннюю критическую область:

Критическое значение найдём из соотношения :

Наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы , поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.

Ответ: в обоих случаях гипотезу принимаем.

Напоминаю, что это не 100%-ное доказательство гипотезы, т.к. существует
-вероятность того, что мы приняли неверную гипотезу (совершили ошибку второго рода).

Пример 44. Решение: рассмотрим случайную величину , где – случайные значения выборочных средних, и проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Поскольку генеральная дисперсия этой случайной величины не известна, то используем критерий , распределённый по закону Стьюдента с количеством степеней свободы .

Для уровня значимости и по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение для двусторонней критической области:

Таким образом, при нулевую гипотезу принимаем, и вне этого интервала (в критической области) отвергаем:

Найдём наблюдаемое значение критерия. Для этого нужно вычислить выборочную среднюю разницу между выборочными средними и и соответствующую дисперсию . Заполним расчётную таблицу:

Таким образом:

Наблюдаемое значение критерия:
– полученное значение попало в критическую область, поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем.

Ответ: на уровне значимости 0,05 результаты лабораторий отличны друг от друга.

Пример 46. Решение: полагая, что погрешности размера выпускаемых изделий распределены нормально, проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Используем критерий .

Так как в конкурирующей гипотезе речь идёт о бОльших значениях дисперсии, то критическая область будет правосторонней. Найдём критическое значение. Для уровня значимости и количества степеней свободы с помощью MS Excel находим критическое значение:

При нулевая гипотеза принимается, а при – отвергается.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу отвергаем.

Иными словами, выборочный результат статистически значимо отличается от нормативного значения 0,2, и оборудование, на котором производятся изделия, нуждается в регулировке. Скорее всего.

Ответ: на уровне значимости 0,05 партию изделий принять нельзя.

Пример 48. Решение: Заполним расчётную таблицу:

Вычислим выборочные характеристики. Средний балл:

Выборочные дисперсии:

Исправленные дисперсии:

1) На уровне значимости 0,1 проверим гипотезу против конкурирующей гипотезы . Используем критерий , где – бОльшая исправленная дисперсия, а – меньшая.

Найдём правое критическое значение двусторонней критической области. Для уровня значимости и числа степеней свободы с помощью MS Excel находим:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
, поэтому на уровне значимости 0,1 гипотезу принимаем. Таким образом, группы однородны (в плане соотношения лучше и хуже успевающих студентов).

Замечание: здесь, конечно, речь идёт не о строгом, а о примерном равенстве генеральных дисперсий.

2) На уровне значимости 0,1 проверим гипотезу против гипотезы о том, что 1-я группа учится слабее. Исследуемые совокупности достаточно малы и их генеральные дисперсии неизвестны, но в предыдущем пункте статистически обосновано незначимое различие ген. дисперсий. Поэтому для проверки гипотезы можно использовать критерий , где – случайные значения выборочных средних, а – соответствующие исправленные выборочные дисперсии.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область будет левосторонней. Для уровня значимости и числа степеней свободы найдём критическое значение односторонней области:
(Калькулятор - Пункт 10в)

При нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергать гипотезу .

Таким образом, по результатам контрольной работы нельзя утверждать, что различие между средними оценками обусловлено тем, что 1-я группа более слабая. Для проверки этого предположения требуется дальнейший мониторинг за успеваемостью.

Ответ: на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергнуть нулевые гипотезы.

Пример 50. Решение: на уровне значимости проверим гипотезу о том, новая рекламная кампания имеет такую же эффективность против конкурирующей гипотезы . Используем критерий , где , а – случайное кол-во заказов, которое может поступить в результате рассылки 1000 новых каталогов.

Найдём критическое значение правосторонней критической области:
, по таблице значений функции Лапласа определяем . При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости гипотезу отвергаем.

Ответ: на уровне значимости 0,05 новая форма рекламы значимо эффективнее.

Пример 52. Решение: на уровне значимости проверим гипотезу против гипотезы о том, что 1-й стрелок стреляет точнее.

Найдём критическое значение правосторонней критической области:

При нулевую гипотезу принимаем, а при – отвергаем.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, следовательно, на уровне значимости 0,1 нет оснований отвергать гипотезу .

Ответ: на уровне значимости 0,1 нет оснований считать, что 1-й стрелок более меткий.

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?